Determinare, se possibile, le costanti
[math]a, b \in \mathbb{R}[/math]
in modo che la seguente funzione reale di variabile reale sia continua in [math]\mathbb{R}[/math]
.[math]f(x) = \egin{cases} e^{\frac{1}{x}} & 0) \\ a x^4 + b & \frac{\\pi}{2}] \\ \\sin(x & +\infty) \ \end{cases}[/math]
La funzione è continua in
[math]\mathbb{R} setmi
us {0, \frac{\\pi}{2}}[/math]
indipendentemente dai valori di us {0, \frac{\\pi}{2}}[/math]
[math]a,b[/math]
, perché ottenuta per composizione di funzioni continue. Si devono quindi determinare [math]a, b \in \mathbb{R}[/math]
affinché la funzione sia continua pure in [math]0[/math]
e [math]\frac{\\pi}{2}[/math]
.La
[math]f[/math]
è continua in [math]0[/math]
se e solo se[math]\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = f(0)[/math]
[math]\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} e^{\frac{1}{x}} = 0[/math]
[math]\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} a x^4 + b = b[/math]
Affinché i limiti destro e sinistro di zero siano uguali è necessario che valga
[math]b = 0[/math]
. Inoltre [math]f(0) = b[/math]
, pertanto, scegliendo [math]b=0[/math]
, la funzione risulta continua in [math]0[/math]
. Ragionando allo stesso modo per [math]\frac{\\pi}{2}[/math]
, e considerando [math]b=0[/math]
, si ottiene[math]\lim_{x \to \frac{\\pi}{2}^{-}} f(x) = \lim_{x \to \frac{\\pi}{2}^{-}} a x^4 = a \frac{\\pi^4}{16}[/math]
[math]\lim_{x \to \frac{\\pi}{2}^{+}} f(x) = \lim_{x \to \frac{\\pi}{2}^{+}} \\sin(x) = 1[/math]
Affinché i limiti destro e sinistro siano uguali è necessario scegliere
[math]a=\frac{16}{\\pi^4}[/math]
. Dato che [math]f(\frac{\\pi}{2}) = a \frac{\\pi^4}{16}[/math]
, con la scelta [math]a=\frac{16}{\\pi^4}[/math]
la funzione risulta continua pure in [math]\frac{\\pi}{2}[/math]
.In conclusione, affinché la
[math]f[/math]
sia continua in tutto [math]\mathbb{R}[/math]
, è necessario scegliere [math]a = \frac{16}{\\pi^4}[/math]
e [math]b = 0[/math]
.FINE
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