Data la funzione
[math] f : ? o ? [/math]
definita da [math]f(x) = 2x+5[/math]
, analizzare il tipo di funzione e stabilire se essa iniettiva, suriettiva e biiettiva; se opportuno, determinare la funzione inversa.Calcolare poi:
-
[math]f(g(x))[/math]
-
[math]g(f(x))[/math]
-
[math]g(f^{-1}(x))[/math]
-
[math] f(f(x))[/math]
-
[math] g(g(x))[/math]
dove
[math]g(x)[/math]
la funzione [math] g(x) = x^2 [/math]
.
Svolgimento (0)
La funzione[math] f : R o R [/math]
definita da [math]f(x) = 2x+5[/math]
una retta.Di conseguenza possiamo affermare che essa sia iniettiva, poich prendendo valori distinti della variabile indipendente si ottengono immagini distinte.
In particolare
[math] ?x_1 , x_2 ? A : x_1 ?x_2 ? f(x_1) ?f(x_2) [/math]
E suriettiva, poich il suo insieme di arrivo corrisponde al codominio, cio ogni elemento dellinsieme di arrivo unimmagine di almeno un elemento del dominio.
E quindi biiettiva, poich sia suriettiva che iniettiva.
La funzione inversa una funzione simmetrica a quella di partenza rispetto la bisettrice del primo e del terzo quadrante.
Poich la nostra funzione biettiva, sicuramente invertibile.
Lequazione di[math]f^{-1} (x)[/math]
pu essere trovata in questo modo:
[math]f(x) = 2x+5 o y = 2x + 5[/math]
Ricaviamo x dallequazione:
[math] 2x = y - 5 o x = frac(y - 5)(2) [/math]
Invertiamo
[math]x[/math]
con [math]y[/math]
:
[math] y = frac(x - 5)(2) [/math]
Svolgimento (1)
Ora data la funzione[math]g(x) = x^2 [/math]
determiniamo [math]f(g(x))[/math]
.Per farlo basta sostituire
[math]g(x)[/math]
alla variabile indipendente della nostra funzione di partenza.
[math] y = 2x + 5 o y = 2 \cdot g(x) + 5 [/math]
[math] y = 2 \cdot x^2 + 5 o y = 2x^2 + 5 [/math]
Svolgimento (2)
Consideriamo[math]g(f(x))[/math]
: sostituiamo alla [math]x[/math]
di [math]g(x)[/math]
la funzione [math]f(x)[/math]
:
[math] y = x^2 o y = (2x + 5)^2[/math]
[math] y = 4x^2 + 20x + 25 [/math]
Svolgimento (3)
Consideriamo[math]g(f^{-1}(x))[/math]
: dobbiamo sostituire alla variabili indipendente di [math]g(x)[/math]
la funzione [math]f^{-1}(x)[/math]
che abbiamo trovato in precedenza.
[math] y = x^2 o y = (frac(x - 5)(2))^2[/math]
[math] y = frac(x^2 - 10x + 25)(4) [/math]
Svolgimento (4)
Consideriamo[math] f(f(x))[/math]
: si sostituisce alla variabile indipendente di [math]f(x)[/math]
la finzione stessa [math]f(x)[/math]
:
[math] y = 2x + 5 o y = 2 \cdot (2x + 5) + 5 [/math]
[math] y = 4x + 10 + 5 o y = 4x + 15 [/math]
Svolgimento (5)
La stessa cosa si fa per[math]g(g(x))[/math]
:
[math] y = x^2 o y = (x^2)^2[/math]
[math] y = x^4[/math]
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