Verifica se la funzione
[math] f : Q ? Q [/math]
definita da [math]f(x)=3x-1[/math]
iniettiva, suriettiva, biiettiva.Determina, se esiste, lespressione analitica della funzione inversa
[math]f^{-1} (x) [/math]
.Data la funzione
[math]g(x)=2x[/math]
determina le espressioni analitiche delle seguenti funzioni composte: [math]f(g(x))[/math]
; [math]g(f(x))[/math]
; [math]g(f^{-1} (x)) [/math]
; [math]f(f(x))[/math]
; [math]g(g(x))[/math]
.
Risoluzione
Una funzione iniettiva quando ad elementi distinti corrispondono immagini distinte; la funzione[math] f : Q ? Q [/math]
definita da [math]f(x)=3x-1[/math]
, quindi, iniettiva.La funzione anche suriettiva, poich il suo codominio corrisponde allinsieme di arrivo Q.
Quindi, essendo sia iniettiva che suriettiva, anche biiettiva.Essendo biiettiva, la funzione sicuramente invertibile. Calcoliamo quindi lequazione della funzione inversa.
[math] f(x) = 3x - 1[/math]
[math]y = 3x - 1 o 3x = y + 1 o x = frac(y + 1)(3) [/math]
[math] f(y) =frac(y + 1)(3) o f^{-1} (x) =frac(x + 1)(3) [/math]
Calcoliamo ora le funzioni composte:
-
[math]f(g(x))[/math]Sostituiamo alla variabile indipendente di f(x) la funzione g(x):
[math]y = 3x - 1 o y = 3 \cdot g(x) - 1 [/math]
[math]y = 3 \cdot 2x - 1 o y = 6x - 1[/math]
-
[math]g(f(x)) [/math]Allo stesso modo, sostituiamo alla variabile indipendente di g(x) la funzione f(x):
[math]y = 2x o y = 2 \cdot f(x) [/math]
[math]y = 2 \cdot (3x - 1) o y = 6x - 2[/math]
-
[math]g(f^{-1} (x)) [/math]In questo caso, dovremmo sostituire la funzione inversa di f(x) alla x di g(x):
[math]y = 2x o y = 2 \cdot f^{-1} (x) [/math]
[math]y = 2 \cdot frac(x + 1)(3) o y = frac(2x + 2)(3) [/math]
-
[math]f(f(x))[/math]Sostituiamo alla x di f(x) la funzione stessa f(x):
[math]y = 3x - 1 o y = 3 \cdot f(x) -1 [/math]
[math]y = 3 \cdot (3x - 1) o y = 9x - 4[/math]
-
[math]g(g(x))[/math]Operiamo allo stesso modo della funzione composta precedente:
[math]y = 2x o y = 2 \cdot g(x) [/math]
[math]y = 2 \cdot 2x o y = 4x [/math]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
