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Circocentro nel Triangolo Rettangolo

Il circocentro di un triangolo è il centro della circonferenza circoscritta ad un triangolo, quindi punto in cui le distanze dal punto O(centro della circonferenza) ai vertici del triangolo sono perfettamente uguali.
Tale punto è l'intersezione degli assi dei tre lati, e nel caso del triangolo rettangolo, il circocentro cade proprio nel punto medio dell'ipotenusa. Ciò sta a significare che il diametro di una circonferenza circoscritta ad un triangolo rettangolo è uguale all'ipotenusa.
Proviamo a dimostrarlo: consideriamo il triangolo ABC in figura.

Ipotesi
  • ABC triangolo rettangolo;
  • AB ⊥ AC;
Tesi
  • BC = diametro della circonferenza circonferenza circoscritta
Dimostrazione
Sia M il punto medio di AB e N il punto medio di AC.
Da M traccio un segmento perpendicolare ad AB (che sarebbe l'asse di AB), che interseca l'ipotenusa in O; ora traccio l'asse di AC.
Visto che AB ⊥ AC, allora MO // AC.
Per Teorema di Talete:
[math]\frac{BM}{MA} = \frac{BO}{OC} = 1 [/math]
(perché BM ≅ MA)
Abbiamo quindi dimostrato che l'asse di AB interseca l'ipotenusa nel suo punto medio.
Ora, considerato nuovamente che AB ⊥ AC, e l'asse di AC ⊥ AC, allora l'asse di AC e il lato BA sono paralleli.
Per Teorema di Talete:
[math]\frac{AN}{NC} = \frac{CO}{OB} = 1[/math]
(perché AN ≅ NC).
Abbiamo dimostrato che le due assi si intersecano quindi nel medesimo punto (punto medio dell'ipotenusa)! Allora si dimostra che l'ipotenusa è diametro della circonferenza circoscritta!
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