Analisi I e II università: Cenni di topologia in R^n

Gianni Sammito, Appunti di Analisi II

Cenni di topologia in Rⁿ

Si definisce Rⁿ come l’insieme di tutte le n-ple di numeri reali, ovvero

Rⁿ = R × R × . . . × R = {(x₁, x₂, . . . , x_n) : x_i ∈ R per i = 1, 2, . . . , n}

Su Rⁿ si definiscono due operazioni, un’operazione interna, + : Rⁿ × Rⁿ → Rⁿ, detta somma fra vettori, ed un’operazione esterna, · : Rⁿ × R → Rⁿ, detta prodotto per scalare.

Presi x, y ∈ Rⁿ, e λ ∈ R, con x = (x₁, x₂, . . . , x_n) e y = (y₁, y₂, . . . , y_n)

Risulta x + y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, . . . , x_n + y_n)

λx = (λx₁, λx₂, . . . , λx_n)

La struttura algebrica ⟨Rⁿ, +, ·⟩ è uno spazio vettoriale su R, dato che Rⁿ è chiuso rispetto alla somma fra vettori e rispetto al prodotto per scalare (vengono detti scalari gli elementi di R), e tali operazioni soddisfano queste proprietà:

• x + y = y + x ∀x, y ∈ Rⁿ
• x + (y + z) = (x + y) + z ∀x, y, z ∈ Rⁿ
• ∃O ∈ Rⁿ : O + x = x ∀x ∈ Rⁿ
• ∀x ∈ Rⁿ ∃(−x) ∈ Rⁿ : x + (−x) = O
• a · (b · x) = (a · b) · x ∀a, b ∈ R, ∀x ∈ Rⁿ
• Sia 1 l’unità di R, allora 1 · x = x ∀x ∈ Rⁿ
• a(x + y) = a · x + a · y ∀a ∈ R, ∀x, y ∈ Rⁿ
• (a + b) · x = a · x + b · x ∀a, b ∈ R, ∀x ∈ Rⁿ

Dati due vettori x, y ∈ Rⁿ, con

x = (x₁, x₂, . . . , x_n) e y = (y₁, y₂, . . . , y_n)

si definisce prodotto scalare fra x e y, e si indica con ⟨x, y⟩, la quantità

⟨x, y⟩ = ∑_k=1ⁿ x_ky_k = x₁y₁ + x₂y₂ + . . . + x_ny_n

Proprietà del prodotto scalare

• ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩ con x, y ∈ Rⁿ (commutativo)
• ⟨(λx + μy), z⟩ = ⟨λ · x, z⟩ + ⟨μ · y, z⟩ con λ, μ ∈ R, x, y, z ∈ Rⁿ (bilineare)
• ⟨x, x⟩ = x₁² + x₂² + . . . + x_n² ≥ 0, dunque ⟨x, x⟩ ≥ 0 ∀x ∈ Rⁿ
• ⟨x, x⟩ = 0 ⇔ x = O (qui, e nel seguito, con O si intende il vettore nullo di Rⁿ, ovvero O = (0, 0, . . . , 0))

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Gianni Sammito, Appunti di Analisi II

Norma

Una funzione ‖ · ‖ : Rⁿ → R si dice norma se e solo se rispetta queste proprietà:

• ‖x‖ ≥ 0 ∀x ∈ Rⁿ
• ‖x‖ = 0 ⇔ x = O
• ‖λx‖ = |λ| · ‖x‖ ∀λ ∈ R, ∀x ∈ Rⁿ
• ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ ∀x, y ∈ Rⁿ (disuguaglianza triangolare)