Analisi I e II università: Cenni di topologia in R^n

Gianni Sammito Appunti di Analisi II n

Cenni di topologia in R

n

Si definisce R come l’insieme di tutte le n-ple di numeri reali, ovvero

n

R = R × R × . . . × R = {(x , x , . . . , x ) : x ∈ R per i = 1, 2, . . . , n}

1 2 n i

n n n n

Su R si definiscono due operazioni, un’operazione interna, + : R × R → R , detta somma fra

n n n

vettori, ed un’operazione esterna, · : R × R → R , detta prodotto per scalare. Presi x, y ∈ R ,

e λ ∈ R, con x = (x , x , . . . , x ) y = (y , y , . . . , y )

1 2 n 1 2 n

risulta x + y = (x + y , x + y , . . . , x + y )

1 1 2 2 n n

λx = (λx , λx , . . . , λx )

1 2 n

n n

La struttura algebrica hR , +, ·i è uno spazio vettoriale su R, dato che R è chiuso rispetto alla

somma fra vettori e rispetto al prodotto per scalare (vengono detti scalari gli elementi di R), e

tali operazioni soddisfano queste proprietà: n

x + y = y + x ∀x, y ∈ R n

x + (y + z) = (x + y) + z ∀x, y, z ∈ R

n n

∃O ∈ R : O + x = x ∀x ∈ R

n n

∀x ∈ R ∃(−x) ∈ R : x + (−x) = O n

a · (b · x) = (a · b) · x ∀a, b ∈ R, ∀x ∈ R n

sia 1 l’unità di R, allora 1 · x = x ∀x ∈ R n

a(x + y) = a · x + a · y ∀a ∈ R, ∀x, y ∈ R n

(a + b) · x = a · x + b · x ∀a, b ∈ R, ∀x ∈ R

n

Dati due vettori x, y ∈ R , con

x = (x , x , . . . , x ) y = (y , y , . . . , y )

1 2 n 1 2 n

si definisce prodotto scalare fra x e y, e si indica con hx, yi, la quantità

n

X

hx, yi = x y = x y + x y + . . . + x y

k k 1 1 2 2 n n

k=1

Proprietà del prodotto scalare

n

hx, yi = hy, xi con x, y ∈ R (commutativo)

1. n

2. h(λx + µy), zi = hλ · x, zi + hµ · y, zi con λ, µ ∈ R, x, y, z ∈ R (bilineare)

21 22 2 n

hx, xi = x + x + . . . + x ≥ 0, dunque hx, xi ≥ 0 ∀x ∈ R

3. n n

hx, xi = 0 ⇐⇒ x = O (qui, e nel seguito, con O si intende il vettore nullo di R , ovvero

O = (0, 0, . . . , 0)) 1

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Gianni Sammito Appunti di Analisi II

Norma n

Una funzione k · k : R → R si dice norma se e solo se rispetta queste proprietà:

n

1. kxk ≥ 0 ∀x ∈ R

kxk = 0 ⇐⇒ x = O n

2. kλxk = |λ| · kxk ∀λ ∈ R, ∀x ∈ R

n

kx + yk ≤ kxk + kyk ∀x, y ∈ R (disuguaglianza triangolare)

3. n

Dato un vettore x ∈ R , si definisce norma euclidea (o modulo o lunghezza) di x la quantità

p hx, xi. Da ora in poi, se non espressamente detto, con il simbolo k · k si indicherà la norma

euclidea del suo argomento. Si può dimostrare (e verrà fatto in seguito) che, come dice il nome

stesso, la norma euclidea rispetta le tre proprietà di una norma.

Disugliaglianza di Cauchy-Schwarz n

La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz dice che comunque si prendano due vettori x, y ∈ R

risulta |hx, yi| ≤ kxk · kyk

Dimostrazione: 2

preso t ∈ R, risulta kx + t · yk ≥ 0 2

kx + t · yk = h(x + t · y), (x + t · y)i =

2 2 2 2

= hx, xi + t · hx, yi + t · hy, xi + t hy, yi = kxk + 2thx, yi + t kyk ≥ 0 ∀t ∈ R

2 2

Posto a = kyk , b = 2hx, yi, c = kxk , dall’ultimo membro della catena di uguaglianze si ottiene

2

at + bt + c ≥ 0 ∀t ∈ R

2

Per come è definito, a ≥ 0, pertanto il discriminante di at + bt + c deve essere minore o uguale

di zero: 2 2 2

2 4(hx, yi) − 4kxk · kyk

b − 4ac

∆ ≤ 0 =⇒

≤ 0 =⇒

= 4

4

4 2 2 2

=⇒ (hx, yi) ≤ kxk · kyk

quindi, facendo la radice ad entrambi i membri, si ottiene

|hx, yi| ≤ kxk · kyk

Dimostriamo ora che la norma euclidea rispetta le tre proprietà di una norma. Le prime

due proprietà discendono banalmente dalle proprietà del prodotto scalare, proviamo quindi che

n

kx + yk ≤ kxk + kyk ∀x, y ∈ R

Dimostrazione: 2 2 2

kx + yk = h(x + y), (x + y)i = kxk + 2hx, yi + kyk

Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz risulta 2hx, yi ≤ 2kxk · kyk, quindi

2 2 2 2 2

kxk + 2hx, yi + kyk ≤ kxk + 2kxk · kyk + kyk = (kxk + kyk)

facendo la radice quadrata ad entrambi i membri si ottiene

kx + yk ≤ kxk + kyk

2

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Gianni Sammito Appunti di Analisi II

Distanza fra due vettori

n

Dati due vettori x, y ∈ R , si definisce distanza la quantità

kx − yk

n

In particolare, presi tre vettori x, y, z ∈ R , si nota che

kx − zk = kx − y + y − zk ≤ kx − yk + ky − zk

ovvero il percorso più breve che congiunge x con z è il segmento che congiunge tali punti.

Intorni sferici

n

Sia x ∈ R . Si definisce intorno sferico aperto di x di raggio r > 0 l’insieme

n

B(x, r) = {y ∈ R : ky − xk < r}

Si definisce intorno sferico chiuso di x di raggio r > 0 l’insieme

n

B[x, r] = {y ∈ R : ky − xk ≤ r}

Punti interni, esterni e di frontiera

n n

Sia A ⊂ R e sia x ∈ R . Si dice che x è un punto interno ad A se ∃r > 0 tale che B(x, r) ⊂ A,

ovvero se l’intorno sferico di x con raggio r è contenuto in A.

Si dice che x è un punto esterno ad A se ∃r > 0 tale che B(x, r) ∩ A = ∅, ovvero se non ci sono

intersezioni fra l’insieme e l’intorno sferico di x di raggio r.

Si dice che x è un punto di frontiera di A se non è interno né esterno ad A, ovvero se ∀r > 0

risulta B(x, r) ∩ A 6 = ∅ e B(x, r) \ A 6 = ∅.

n

Sia A ⊂ R . Si definisce frontiera di A, e si indica con il simbolo ∂A, l’insieme

n

∂A = {x ∈ R : x è un punto di frontiera di A}

Insiemi aperti, chiusi, interno, chiusura

n

Sia A ⊂ R . A si dice aperto se tutti i punti di A sono interni ad A, ovvero se A ∩ ∂A = ∅.

A si dice chiuso se contiene anche tutti i punti di frontiera, ovvero se A ⊃ ∂A.

Ci sono insiemi che non sono né aperti né chiusi, perché contengono una parte della frontiera.

Si definisce chiusura di A, e si indica con Ā, il più piccolo insieme chiuso che contiene A, ovvero

Ā = A ∪ ∂A.

Si definisce interno di A, e si indica con Å, il più grande insieme aperto contenuto in A, ovvero

Å = A \ ∂A.

Insiemi limitati, non limitati, compatti

n

Sia A ⊂ R . L’insieme A si dice limitato se esiste un intorno sferico che lo contiene, ovvero se

∃R > 0 tale che B(O, R) ⊃ A.

Se invece l’insieme A non è limitato si dice illimitato.

Un insieme si dice compatto se e solo se è chiuso e limitato.

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