Elementi di analisi matematica

Mentre la carica si accumula sui piatti del condensatore il suo campo elettrico interno cresce; ciò

implica che anche il flusso elettrico attraverso la superficie che abbiamo costruito non sia costante

nel tempo, e possiamo usare il teorema di Gauss per determinare la sua variazione.

L’unità di misura della variazione del flusso elettrico rispetto al tempo, moltiplicata per la

costante dielettrica del vuoto, è il coulomb al secondo, la stessa della corrente elettrica. Era lecito

aspettarsi che fosse una grandezza fisica analoga alla corrente di conduzione a profilarsi come

ulteriore sorgente di un campo magnetico. Maxwell chiamò questa grandezza “corrente di

spostamento” (displacement benché nessuna carica fluisse effettivamente nello spazio;

current)

questo nome non è dovuto solo, come si sente dire di solito, a motivi storici, ma anche al fatto che

la “corrente” associata alla variazione del flusso elettrico è in legata (in presenza di mezzi materiali)

al vettore elettrico spostamento D.

E 

 ∂ ˆ

∫∫

ε

I N ds

=  



0

d [corrente di spostamento]

t

∂

 

S

Una conseguenza della correzione apportata alla legge di Ampère è che essa conduce ad associare

ad ogni campo elettrico variabile nel tempo un campo magnetico: questo fenomeno, l’induzione

costituisce il duale dell’induzione elettromagnetica.

magnetoelettrica,

Questo accorgimento, l’ultimo, garantì la validità della legge di Ampère nel caso non statico e

portò quasi al massimo livello la simmetria delle equazioni per l’elettromagnetismo; ciò che

mancava, e continua a mancare, è l’esistenza di un monopolo magnetico. Gli esperimenti condotti

finora non sono riusciti ad evidenziarne la presenza o ad individuare, quantomeno, la necessità

logica della sua introduzione nel formalismo elettromagnetico. La sua implementazione nella teoria

sarebbe del resto piuttosto agevole.

Un ultimo commento che si può fare sul formalismo maxwelliano è che esso resse alla prova della

relatività di Einstein; mentre la meccanica classica newtoniana fu rivoluzionata dall’approccio

relativistico, l’elettromagnetismo se la cavò con l’introduzione di alcuni fattori correttivi nelle sue

equazioni, ma tutti i suoi principi ressero. Fu, anzi, una conseguenza paradossale che emergeva

considerando il modello elettromagnetico della luce congiuntamente alla meccanica classica a

costituire uno dei primi (termine di Oersted) compiuti da Einstein per

Gedankenexperiment

decostruire la teoria del grande fisico inglese.

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11

Elementi di analisi matematica

Quadripartizione:

La sezione precedente aveva una funzione di semplice contorno storico rispetto ai temi che mi sono

proposto di trattare. Inizia ora il nucleo matematico della tesina, l’unico che esporrò oralmente

(forse neanche per intero), e che ci porterà a derivare le equazioni di Maxwell per

l’elettromagnetismo in forma differenziale.

Pongo qui una partizione per rendere la dissertazione più chiara; avremo quattro sezioni:

1) la prima verterà su alcuni fondamentali di analisi multidimensionale, senza la volontà di

essere esaustivi, e avrà una funzione puramente propedeutica per quanto segue. Darò per

scontato il programma di analisi del liceo, che verte su funzioni scalari di una o due

variabili. Arriveremo nel finale a definire, in termini precisi, cosa si intenda per campo

vettoriale (definizione (I.IX)); in altre parole, qui definiremo l’oggetto su cui andremo a

lavorare, per capire con cosa abbiamo a che fare

2a) ora che abbiamo la materia prima, costruiremo le tecniche che ci consentiranno di elaborarla

a partire da concetti semplici. Ci interesseremo della derivazione e dell’integrazione

multidimensionale, limitandoci a considerare i risultati di nostro interesse senza fornirne (o

quasi) dimostrazioni. L’ultima definizione che tratterò sarà quella di integrale di superficie

di un campo vettoriale

2b) meritano un posto a parte, per la loro complessità e importanza rispetto all’obiettivo che mi

sono preposto, i teoremi di Stokes e Gauss-Ostrogadskij. Questa sezione sarà dedicata a loro

3) finalmente saremo pronti ad applicare quanto scoperto alla lista di quattro equazioni di

Maxwell, e concluderemo con una breve dissertazione sugli sbocchi della teoria

elettromagnetica per una spiegazione dei fenomeni ottici

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12

Fondamentali e definizione di campo vettoriale (I)

L’inizio più logico coincide forse con la descrizione dell’ambiente entro il quale lavoreremo; esso

renderà suscettibili di una visualizzazione gli oggetti di cui parleremo, posto che ciò abbia qualche

importanza a livello cognitivo ma non logico.

L’idea fondamentale è di avvalersi di un sistema di coordinate per identificare univocamente punti

nello spazio tridimensionale. Salvo diversa indicazione, nel seguito faremo uso del sistema di

riferimento cartesiano con coordinate ortogonali.

In figura si vedono tre rette orientate incidenti ortogonalmente tra loro in un punto. Vogliamo

trovare una maniera efficace di esprimere la posizione di un punto rispetto a questi tre assi, e il

sistema è il seguente: le coordinate di un punto saranno una misura della distanza percorsa dal punto

stesso in una direzione parallela ai tre assi rispetto alla loro origine. Un’altra possibilità è di

x, y, z

interpretare ogni coordinata di un punto come la minima distanza del punto rispetto ai piani

individuati dagli assi coordinati a due a due, cioè la distanza misurata su una retta perpendicolare (o

normale) ai piani; stando così le cose, la coordinata è la misura della distanza del punto dal piano

x

e via dicendo.

yz,

Avendo definito un orientamento sugli assi, possiamo esprimere le coordinate anche con numeri

negativi, il cui valore assoluto è comunque la distanza di cui parlavo.

Poniamo l’origine del nostro sistema di coordinate nel punto di tripla intersezione degli assi e le

assegniamo, pertanto, coordinate rispetto ad ogni asse pari a 0. Si è soliti indicare con l’origine.

O

Possiamo allora asserire quanto segue.

Definizione (I.I) ( , , ) , ognuno dei quali rappresenta la

Un punto è una terna ordinata di numeri, indicato con P x y z

coordinata di rispetto ad uno degli assi

P x, y, z.

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13

Limiteremo la scelta del campo numerico a quello reale, che è sufficiente per derivare tutti risultati

che seguiranno. La derivazione, ad esempio, implica la possibilità matematica di calcolare il limite

del rapporto incrementale di una funzione, e ciò è vero anche nel caso multidimensionale. Senza

inoltrarci nell’analisi non standard, la costruzione del campo dei reali a partire dalle sezioni di

Dedekind-Cantor o dalle successioni convergenti di Cauchy sui numeri razionali garantisce che esso

fornisca questa possibilità. In qualche maniera, l’idea intuitiva di continuità, fondamentale

nell’analisi, trova un riscontro non solo intuitivo nei numeri reali.

Esiste un teorema che dimostra che ogni campo numerico con le proprietà dei reali sia omeomorfo

ad esso; quindi siamo autorizzati a far ricadere, con poca originalità, la nostra scelta su di esso.

A prescindere dal fatto che la definizione di “punto” ci appaia realistica o meno, siamo riusciti a

tradurre un ente geometrico (non reale in quanto privo di dimensioni) in uno numerico o algebrico.

Questa idea consente molteplici applicazioni e fonda la possibilità di una geometria analitica

affiancata ad una sintetica, euclidea o meno, ed è dovuta a René Descartres; è in suo onore che si

parla di coordinate cartesiane.

Tralasciando altri profondi aspetti epistemologici, diamo qualche richiamo di algebra vettoriale, che

sarà della massima importanza nel seguito; la descrizione matematica dei campi in forma vettoriale

è assai più semplice del caso scalare.

Definizione (I.II)

Un vettore è, geometricamente, un segmento di retta orientato in uno spazio Due

n-dimensionale.

punti individuano univocamente un vettore.

Dal punto di vista fisico, una grandezza vettoriale non è completamente descritta dalla sua intensità,

bisogna anche considerarne direzione e verso. Ora è chiaro perché ci siamo preoccupati di dotarci di

un sistema di riferimento univoco; direzione e verso non sarebbero definiti altrimenti.

Definizione (I.III)

Un versore è un vettore di norma unitaria, cioè tale che la sua norma (o lunghezza, o modulo) sia

pari a 1. ˆ

ˆ ˆ

, ,

I versori dei tre assi coordinati siano . L’accento circonflesso su di una lettera la denoterà

i j k

come versore, la freccia posta sopra ad una lettera la identificherà invece come grandezza vettoriale

più in generale.

Questa definizione, apparentemente superflua, ci consente di tradurre il concetto geometrico di

vettore in un suo analogo numerico (stessi sforzo fatto per definire un punto); il vantaggio nel fare

ciò è, ad esempio, di renderlo trattabile ed elaborabile mediante tecniche di mero calcolo

computazionale.

In realtà esistono più possibilità, algebricamente, per definire un vettore; di solito si fa uso di

concetti trigonometrici per definire la sua direzione nello spazio. L’ultima definizione, tuttavia, ci

fornisce un sistema comodo che consiste nel valutare le sue componenti rispetto agli assi coordinati.

Un teorema di algebra lineare, che non enuncio, afferma che ogni vettore di uno spazio n-

è esprimibile mediante una combinazione lineare di vettori non paralleli

dimensionale n

n

appartenenti allo stesso spazio. Denoteremo con uno spazio in dimensioni; un punto in esso è

n

ℜ

univocamente determinato da un insieme ordinato di numeri reali. Lo spazio tridimensionale

n

3

ordinario è .

ℜ

Teorema (I.I)

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14

Essendo un vettore esprimibile tramite una combinazione lineare dei versori degli assi coordinati,

esso ha la forma seguente:

 ˆ

ˆ ˆ k

z

j

A x

i y

= + +

dove sono le coordinate variabili di un punto nello spazio.

x, y, z

Definizione (I.IV)  . Esso è il vettore che unisce l'origine al

Ad ogni punto è associato un vettore posizione O

P OP

punto P.

Teorema (I.II)  ˆ

ˆ

ˆ

A x

i y

j z k

= + +

La norma (o modulo) del vettore è una misura, geometricamente, della sua

lunghezza. In componenti cartesiane è data da:

 2 2 2

A x y z

= + +

La dimostrazione di ciò è riconducibile al teorema di Pitagora.

Ricordiamo che è definita la somma tra vettori ma non tra vettori e scalari, idem per la differenza. Il

prodotto tra vettori e scalari è definito nella maniera che si può evincere dal teorema (I.I), in cui si è

ˆ

ˆ ˆ

3 e i versori . Il rapporto tra vettori non

calcolato il prodotto tra le coordinate di un punto in , ,

i j k

ℜ

è definito.

Definizione (I.V)  

Si definisce prodotto scalare (o interno) di due vettori, e si indica , la seguente grandezza

A B



scalare:

  ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

( ) ( )

i y j z k x x y y z

A B x i y j z k x z

= + + + + = + +

  b b b a b a b

a a a a b

Teorema (I.III)

 

  θ

cos

A B A B

=

  

θ π

dove è l’angolo minore di radianti compreso tra e (che deve necessariamente esistere).

A B

Da ciò segue che due vettori il cui prodotto scalare sia nullo sono perpendicolari:

π

θ

cos( 0 ) 0

= → = 2

La dimostrazione di ciò è invece riconducibile al teorema del coseno (di Carnot) per triangoli

generici.

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15

Definizione (I.VI)  

 

Si definisce prodotto vettoriale (o esterno) tra vettori, e si indica (o ), il seguente

A B A B

× ∧

pseudo vettore:

  ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A B x i y j z k x i y j z k y z z y i z x x z j x y y x k

× = + + × + + = − + − + −

a a a b b b a b a b a b a b a b a b

Con un abuso di notazione:

ˆ

ˆ ˆ

i j k

 

A B x y z

× = a a a

x y z

b b b

Teorema (I.IV)

  è dato da:

Il modulo di A B

×

 

  θ

sin

A B A B

× =  

θ π

dove è l’angolo minore di radianti compreso tra e .

A B

 