Elementi di analisi matematica

Liceo scientifico statale “Arturo Issel”

Finale Ligure (Savona)

Elementi di analisi matematica

(Derivazione analitica delle equazioni di Maxwell per l’elettromagnetismo in forma differenziale o locale)

Gabriele Rembado

Classe V B

Anno scolastico 2008-2009

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1

Indice

Un’introduzione programmatica 3

Cenni storici sulla teoria elettromagnetica e presentazione delle equazioni di Maxwell in 4 forma integrale

Elementi di analisi matematica – Quadripartizione 12

Fondamentali e definizione di campo vettoriale (I) 13

Derivazione ed integrazione multidimensionali (IIa) 20

Teoremi di Stokes e Gauss-Ostrogadskij (IIb) 40

Le equazioni di Maxwell in forma differenziale (III) 43

Bibliografia 52

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2

Un’introduzione programmatica

Mi propongo di esporre, in maniera approfondita, i passaggi formali che portano ad esprimere le equazioni integrali di Maxwell per l’elettromagnetismo in forma differenziale.

Dimostrerò come le due formulazioni siano equivalenti (in quanto forniscono una stessa descrizione degli stessi fenomeni) benché mettano in risalto diverse proprietà dei campi elettromagnetici.

L’obiettivo fondamentale è mostrare i legami che correlano l’integrale di superficie di un campo vettoriale attraverso una varietà geometrica chiusa (il e l’integrale di linea dello flusso del campo)

stesso campo calcolato lungo una curva chiusa semplice (la con due altri circuitazione del campo)

oggetti matematici: la e il (rispettivamente). Ciò è possibile avvalendosi di due divergenza rotore

teoremi fondamentali dell’analisi multidimensionale: il teorema di Stokes e il teorema di Gauss-Ostrogadskij.

L’argomento è prettamente matematico, ed occupa la seconda parte della mia tesina (a sua volta divisa in quattro sottosezioni); ho scelto di fare precedere questi “elementi di analisi matematica” da una sezione che rendesse conto, in sintesi, di quella che fu la linea di ricerca (dal punto di vista storico) che condusse Maxwell ad enunciare le sue equazioni per l’elettromagnetismo, al fine di contestualizzare il problema che intendo trattare.

Ciò che voglio mostrare, dunque, è che le conoscenze di matematica che posseggo al momento sono sufficienti a permettermi di acquisire concetti leggermente più complessi di quelli trattati durante gli anni del Liceo. In definitiva, questo implica che la mia tesina non abbia nulla della multidisciplinarietà ma, anzi, si prefiguri come specifica e piuttosto tecnica. Vagamente esoterica, per così dire.

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3

Cenni storici sulla teoria elettromagnetica e presentazione delle equazioni di Maxwell in forma integrale

«In meccanica classica ed in termodinamica, si è cercato di determinare l’insieme di equazioni o di leggi più piccolo e compatto che ci permettesse di analizzare il comportamento dei sistemi fisici. In meccanica classica la base è costituita dalle tre leggi del moto di Newton. In termodinamica, i tre principi (numerati zero, uno, due) sono in grado di spiegare una grande quantità di fenomeni. Le equazioni fondamentali dell’elettromagnetismo […] sono note con il nome di equazioni di Maxwell, in onore del fisico scozzese James Clerk Maxwell (1831-1879) che per primo le inquadrò in una teoria simmetrica e completa dell’elettromagnetismo. […]» 0F

L’incipit del capitolo 40 sulle equazioni di Maxwell del testo di fisica di Resnick, Halliday e Krane, sintetizza con chiarezza lo spirito che guidava le ricerche sull’elettromagnetismo attorno alla fine del XIX secolo: si tentava, come era stato in passato per le altre branche della fisica classica, di individuare i principi teorici minimi grazie ai quali fosse possibile derivare una spiegazione dei fenomeni elettromagnetici nella loro completezza. Maxwell e la sua formulazione giunsero alla fine di questo processo, che sintetizzò mezzo secolo di osservazioni ed esperimenti nelle quattro equazioni sopra riportate.

Consideriamo qui i protagonisti e le vicende di questa ricerca.

Fino al 1820 le scienze dell’elettricità e del magnetismo si svilupparono separatamente. Esisteva una legge empirica fondamentale posta a fondamento dell’elettrostatica: la legge di Coulomb.

1

 q q

F = 1 2 [legge di Coulomb in forma scalare]

πϵ 2

4 R

0

Questa, per l’esattezza, è la forma in cui si presenta la legge se le cariche e sono poste nel q

q

1 2

ϵ

vuoto. è detta (o costante dielettrica del vuoto permettività elettrica del vuoto).

0

Charles Augustin Coulomb condusse esperimenti con una bilancia di torsione e tradusse l’attrazione e la repulsione elettrica in termini quantitativi, deducendo la legge che ne governa l’azione attorno al 1785. Egli scoprì che il modulo della forza elettrica che si esercita tra due cariche (concetto dovuto a Benjamin Franklin) nello spazio è direttamente proporzionale al prodotto delle

Si potevano seguire due

due cariche e diminuisce con il quadrato della distanza che le separa.

strade per attribuire un valore alla costante moltiplicativa che compariva nell’equazione:

• Definire l’unità di carica e stabilire la costante sperimentalmente
• Fissare la costante in maniera arbitraria e usare la legge della forza per determinare empiricamente l’unità di carica

Si scelse, di lì a poco, di seguire la prima via e l’unità di carica venne definita in termini di unità di corrente; ciò comportò l’assegnazione di un valore puramente sperimentale alla costante di

ϵ

proporzionalità diretta, dunque a . Nel caso del campo magnetico si scelse l’altra via, e questo

0

spiega perché la abbia un valore esatto (tramite il quale permeabilità magnetica del vuoto

determinare l’unità di corrente).

1 David Halliday, Robert Resnick e Kenneth S. Krane, Fisica 2-quarta edizione, ed. italiana a cura di A. Pullia, Casa editrice Ambrosiana, Milano, 1998, p. 925

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4

La legge di Biot-Savart

Gli esperimenti condotti quattro anni dopo, con una strumentazione analoga, sull’interazione magnetica, non portarono Coulomb alla formulazione di alcuna legge.

Attorno al 1820 furono altri due francesi, Jean-Baptiste Biot e Felix Savart, ad ottenere un’espressione analitica per la forza magnetica (tecnicamente per il campo); la legge di Biot-Savart era figlia di tre sviluppi essenziali in sede teorica:

1. Si era arrivati a capire che l’interazione tra cariche nello spazio non avviene grazie ad una “azione a distanza” istantanea, com’era, ad esempio, nella meccanica gravitazionale newtoniana.

Alla schematizzazione seguente: carica carica



se ne sostituì uno di questo tipo:

carica campo carica

 

I campi costituiscono pertanto i mediatori dell’interazione elettrica e di quella magnetica, ma non si era ancora intuito che ad essi, benché si presentassero fenomenologicamente come entità separate, sottostava una stessa realtà fisica; questo fu il principale contributo dato da Maxwell alla teoria, le considerazioni di simmetria.

Con queste considerazioni, la legge di Biot-Savart non lega, come nel caso coulombiano, la forza magnetica alla quantità di “carica magnetica” di un corpo, ma dà una definizione del campo magnetico individuandolo come prodotto di una certa distribuzione di corrente.

µ I

B = 0 [legge di Biot-Savart in forma scalare]

π

2 R

µ è la di cui parlavo sopra.

permeabilità magnetica del vuoto

0

2. L’ultimo paragrafo del punto precedente suggerisce già i due ulteriori sviluppi; anzitutto, considerare il campo magnetico generato da un fenomeno elettrico (il moto di deriva degli elettroni in un cavo) implicava l’aver compreso che i due mondi non erano, in fondo, separati.

Nel 1820, infatti, Hans Christian Oersted rilevò che una corrente elettrica in un cavo è in grado di deflettere un ago magnetico posto nelle immediate vicinanze. Senza questa esperienza non si sarebbe potuti giungere alla formulazione di Biot e Savart, che stabilisce quantitativamente il contributo al campo magnetico dato da una corrente elettrica; i due osservarono che tra due circuiti percorsi da correnti si esercitavano forze mutuamente attrattive o repulsive, dette ponderomotrici.

3. Coulomb, tentando di stabilire quantitativamente il valore della forza magnetica esercitata tra due corpi, pensava che i parametri fondamentali sarebbero stati, per analogia col caso elettrico, la distanza tra essi e la quantità di magnetismo da loro posseduta intrinsecamente; pensava dunque che fosse possibile definire la carica magnetica come proprietà intensiva di un corpo.

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5

All’epoca in cui Biot e Savart produssero il loro risultato c’era invece molto scetticismo riguardo alla possibilità dell’esistenza di un monopolo magnetico, il quale non era mai stato osservato sperimentalmente. Senza di esso non c’era possibilità di definire un analogo magnetico della carica, e questo guidò i due ad individuare cause diverse. Secondo quanto spiegato ai punti 1 e 2, i fisici avevano capito che l’interazione magnetica seguiva il seguente schema:

carica in movimento campo magnetico carica in movimento

 

O, analogamente: corrente campo magnetico corrente

  T m

·

π

µ ( ) sia possibile

Questo spiega perché, una volta fissato il valore esatto di 4 10 −7

· A

0

definire l’unità di corrente.

Entrambe le leggi di cui abbiamo discusso furono presto superate da altre che sembravano poter descrivere un numero più elevato di fenomeni; queste sono, rispettivamente per il caso elettrico e magnetico, il teorema di Gauss e la legge di Ampère.

Karl Friedrich Gauss dimostrò alcuni importanti teoremi di calcolo integrale e differenziale multidimensionale, che descrivono certe proprietà che i campi vettoriali devono possedere. Uno di questi teoremi lega il flusso di un campo vettoriale calcolato attraverso una superficie chiusa (detta superficie gaussiana) alle sorgenti del campo racchiuse dalla superficie stessa. Nel caso del campo elettrico vale il seguente enunciato: il flusso del campo elettrico uscente da una qualsiasi superficie

1

chiusa che contenga della carica è proporzionale (secondo il fattore ) alla carica netta contenuta

ϵ 0

nella superficie, indipendentemente dalla sua forma e dalla sua area. Ciò è esprimibile mediante un’equazione integrale; essa si considera, di solito, come la prima delle equazioni di Maxwell in forma integrale.

( ) Q

ˆ

∫∫ E N ds =

 [teorema di Gauss]

ϵ 0

∂

Σ

Vedremo come lo stesso teorema, espresso in un’altra forma, faccia passare da questa caratterizzazione del campo elettrostatico, che ne mette in luce una proprietà estesa, ad un’altra equivalente, che ne metterà in luce una proprietà locale.

Gauss dimostrò che i suoi argomenti sono una diretta conseguenza della legge di Coulomb e del principio di sovrapposizione, cioè che non contengono alcuna informazione nuova rispetto a queste leggi fisiche. Risulta vera anche la proposizione inversa: se si ammettono validi per un campo vettoriale di forze il teorema di Gauss e la legge di irrotazionalità (espressa dal fatto che la circuitazione del campo elettrostatico lungo un circuito chiuso è nulla), tali forze verificano una legge di interazione di tipo coulombiano e il principio di sovrapposizione.

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6

( )

 ˆ

∫ 0

F T dl = 

 [legge di irrotazionalità per un campo vettoriale ]

F

S

∂

Anche l’esistenza delle due specie di cariche è contenuta nel teorema di Gauss, quando nel suo enunciato si specifichi che il flusso di uscente da una superficie chiusa può essere positivo o

E

negativo. Esiste una completa equivalenza di contenuti tra il teorema di Gauss e la legge di irrotazionalità da una parte e la legge di Coulomb e il principio di sovrapposizione dall’altra (anche se, a rigore, alle prime due andrebbe aggiunta un’informazione circa il comportamento all’infinito del campo). In linea di principio, un campo elettrostatico può essere calcolato più agevolmente utilizzando il teorema di Gauss e la legge di irrotazionalità, e questo è il motivo per cui lo si considera più generale rispetto alla legge di Coulomb.

Poche settimane dopo aver assistito alla conferenza in cui Oersted presentò le sue osservazioni sui legami tra elettricità e magnetismo, André-Marie Ampère propose una legge che permetteva di calcolare il valore del campo magnetico associato ad una distribuzione di carica usando, come fece Gauss, argomenti di simmetria. L’equazione di Biot-Savart può essere derivata a partire dalla legge di Ampère e si prefigura, al pari della legge di Coulomb, più come una tecnica per il calcolo del campo magnetico che come una sua possibile descrizione.

Ampère mise in evidenza che una corrente di conduzione genera nelle proprie immediate vicinanze un campo magnetico con circuitazione non nulla, e fornì una maniera semplice di calcolare l’integrale di linea che dovrebbe valutare detta circuitazione. La sua legge asserisce che la circuitazione del campo magnetico lungo una curva chiusa semplice è direttamente proporzionale

µ

all’intensità delle correnti concatenate alla curva stessa. La costante di proporzionalità è .

0

( )

ˆ

∫ η

B T dl I

=

 [legge di Ampère]

0

S

∂ Questa, che si prefigura come la legge della circuitazione del campo magnetico, è in alcuni testi considerata come la seconda legge della magnetostatica (ad esempio negli elementi di elettromagnetismo di Gatti e Bobbio); di quella fondamentale parleremo tra poco.

A questi due teoremi, il secondo dei quali fu ampliato da Maxwell, furono affiancati due altri enunciati: la legge fondamentale della magnetostatica (sempre dovuta a Gauss) e la legge sull’induzione magnetica, per cui dobbiamo citare Faraday.

Gauss cominciò a condurre esperimenti sul campo magnetico assieme a Wilhelm Eduard Weber (il cui nome fu dato all’unità di misura che quantifica il flusso magnetico attraverso una superficie 2 ) a partire dagli anni ’30 dell’ottocento. La prima legge che

non chiusa; 1 weber = 1 T m

·

formularono è nota come legge fondamentale della magnetostatica e afferma che il campo magnetico prodotto da una qualsiasi distribuzione di correnti è solenoidale (rotazionale o incomprimibile).

( )

ˆ

∫∫ 0

B N ds =

 [solenoidalità del campo magnetico]

∂

Σ

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7

Questa è inoltre la seconda delle equazioni di Maxwell.

La differenza col caso elettrostatico è evidente: nel caso magnetico, infatti, il flusso di B attraverso una superficie chiusa è sempre nullo. Non esistono cariche magnetiche da cui partano o in cui terminino le linee vettoriali; esse si presentano pertanto senza inizio né fine (cioè chiuse), oppure estese all’infinito.

Le caratteristiche della circuitazione del campo elettrico furono enunciate nel 1831 congiuntamente da Michael Faraday e Joseph Henry (il cui nome fu dato all’unità di misura che quantifica l’induttanza di un solenoide, l’analogo magnetico della capacità, che si esprime, invece, in faraday). Si riconosce a Faraday la priorità di scoperta perché pubblicò i suoi risultati per primo, in Inghilterra. Essa stabilisce che, in presenza di campi magnetici variabili nel tempo, la circuitazione del campo elettrico è, in generale, diversa da zero: la f.e.m. (forza elettromotrice) agente lungo uno linea chiusa semplice è pari (a meno del segno) alla derivata nel tempo di flusso magnetico concatenato con la linea stessa (legge del flusso); di solito si indica tale curva (o linea) con Inoltre, e la differenza è sottile, un campo magnetico variabile genera un spira ampèriana.

campo elettrico rotazionale indotto (induzione elettromagnetica).

( )  

B

∂

 

ˆ ˆ

∫ ∫∫

 

E T dl

N ds

= −  

 

  [induzione elettromagnetica]

t

∂

 

 

S S

∂ ( ) ( )

 

d

ˆ ˆ

∫ ∫∫

 

E T dl

B N ds

= −

 

 

dt [legge del flusso]

 

S S

∂

La legge, se espressa in una singola forma, può far confondere due fenomeni distinti: l’induzione elettromagnetica (che coinvolge un campo magnetico variabile nel tempo) e la forza elettromotrice (che implica il movimento di una particelle cariche attraverso un conduttore). L’uso di entrambe le forme distingue invece tra una legge del flusso, che lega la derivata rispetto al tempo del flusso del campo magnetico alla forza elettromotrice prodotta, e una vera e propria legge dell’induzione magnetica, che lega la derivata rispetto al tempo del campo magnetico stesso al campo elettrico indotto.