Analisi - Teorema di Lagrange

Teorema di Lagrange

Il teorema di Lagrange afferma che se f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso [a; b] e derivabile in ogni punto dell'intervallo aperto ]a; b[

allora

esiste almeno un punto interno all'intervallo [a; b] la cui derivata vale ^{f(b) - f(a)}/_{b - a}

Ipotesi:

• f(x) è continua in [a; b];
• f(x) è derivabile in ]a; b[;

Tesi:

• c ∈ (a; b): f'(c) = ^{f(b) - f(a)}/_{b - a}

Dimostrazione:

y

f(b)

f(x)

y_p

f(a)

O

a

x

b

X

A

P

P'

B

Siano A e B i due estremi della funzione f(x):

A (a; f(a)); B (b; f(b)).

La corda della funzione f(x) e la retta AB ha per estremi gli estremi della funzione.

Il coefficiente angolare della retta AB è:

m_AB = (y_B - y_A) / (x_B - x_A) = (f(b) - f(a)) / (b - a).

L'equazione della retta AB è quindi la seguente:

r_AB: y - y_A = m(x - x_A); y - f(a) = (f(b) - f(a)) / (b - a) (x - a)

Ogni punto che appartiene alla retta AB ha quindi come ordinata: y = (f(b) - f(a)) / (b - a) (x - a) + f(a).

Ad ogni x che appartiene all'intervallo [a; b] si fa corrispondere la misura del segmento PP', dove P è un punto che appartiene alla retta AB e P' è la proiezione di P sul grafico della funzione f(x).

Quindi:

P (x; y_P); P'(x; f(x)).

y_P = (f(b) - f(a)) / (b - a) (x - a) + f(a).

PP' = f(x) - y_P = f(x) - (f(b) - f(a)) / (b - a) (x - a) + f(a).

Si indica con φ(x) la misura del segmento PP'; quindi:

φ(x) = f(x) - (f(b) - f(a)) / (b - a) (x - a) + f(a).

φ(x) è una funzione continua nell'intervallo chiuso [a; b] e derivabile al suo interno.

Inoltre φ(a) = φ(b), infatti:

φ(a) = f(a) - (f(b) - f(a)) / (b - a) (a - a) + f(a) = f(a) - f(a) = 0

φ(b) = f(b) - (f(b) - f(a)) / (b - a) (b - a) + f(a) = f(b) - f(b) - f(a) - f(a) = 0

Quindi, la funzione φ(x) soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo chiuso [a; b] e, di conseguenza, esiste, all'interno di tale intervallo, almeno un punto c la cui derivata vale 0, ovvero φ'(c) = 0.

Si calcoli la derivata prima della funzione φ(x):

φ'(x) = f'(x) - (f(b) - f(a)) / (b - a).

Ma φ'(x) = 0, quindi f'(x) - (f(b) - f(a)) / (b - a) = 0; f'(x) = (f(b) - f(a)) / (b - a)

Poiché (f(b) - f(a)) / (b - a) appartiene all'intervallo [a; b], si può concludere che f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).

Esercizio svolto

Applicare il teorema di Lagrange alla seguente funzione f(x) = 5-x² in [-2; 4].

• Classificare la funzione: funzione algebrica, razionale, intera;
• Determinare il dominio: D = R
• Verificare se la funzione soddisfi le due ipotesi del teorema di Lagrange:
  1. f(x) è continua in [-2; 4] poiché ogni funzione algebrica è continua nel suo dominio e quindi anche nell'intervallo dato;
  2. f(x) è derivabile in (-2; 4) poiché ogni funzione algebrica è derivabile nel suo dominio e quindi anche nell'intervallo dato;
• Calcolare la derivata prima di f(x): f'(x) = 2x
• Calcolare f(a) e f(b): f(a) = f(-2) = 1; f(b) = f(4) = -11
• Calcolare (f(b) - f(a)) / (b - a): (f(b) - f(a)) / (b - a) = (f(4) - f(-2)) / (4 - 1) = (-11 - 1) / 3 = -4
• Risolvere l'equazione f'(x) = (f(b) - f(a)) / (b - a): 2x = -4, da cui x = -2
• Verificare se la soluzione dell'equazione appartiene all'insieme dato: -2 ∈ [-2; 4]

Si può quindi concludere che esiste almeno un punto in cui la derivata si annulla, e tale punto è c = -2.