Analisi - Teorema di Lagrange

Siano A e B i due estremi della funzione f(x):

A (a; f(a) ); B (b; f(b) ).

La corda della funzione f(x) è la retta AB ha per estremi, gli estremi della funzione.

Il coefficiente angolare della retta AB è:

−

y y ( )−f (

f b a)

B A

m = = .

AB −x

x b−a

B A

L’equazione della retta AB è quindi la seguente:

( )−f (

f b a)

r : y – y = m(x – x ); y – f(a) = (x – a)

AB A A b−a ( )−f (

f b a)

Ogni punto che appartiene alla retta AB ha quindi come ordinata: y = (x – a) + f (a).

b−a

Ad ogni x che appartiene all’intervallo [a; b] si fa corrispondere la misura del segmento PP’ dove P è un punto che

appartiene alla retta AB e P’ è la proiezione di P sul grafico della funzione f(x).

Quindi:

P (x; y ); P’(x; f(x) ).

P ( )−f (

f b a)

y = (x – a) + f (a).

P b−a ( )−f (

f b a)

PP’ = f(x) – y = f(x) – (x – a) + f (a).

P b−a

ϕ(x)

Si indica con la misura del segmento PP’; quindi:

( )−f (

f b a)

ϕ(x) = f(x) – (x – a) + f (a).

b−a

ϕ(x) è una funzione continua nell’intervallo chiuso [a; b] e derivabile al suo interno.

ϕ(a)= ϕ(b)

Inoltre infatti:

( )−f (a)

f b

ϕ(a)= f(a) – (a – a) + f (a) = f(a) – f(a) = 0

b−a

( )−f (

f b a)

ϕ(b)= f(b) – (b – a) + f (a) = f(b) – f(b) – f(a) – f(a) = 0

b−a

ϕ(x)

Quindi, la funzione soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle nell’intervallo chiuso [a;b], e di conseguenza esiste,

ϕ’(c)

all’interno di tale intervallo, almeno un punto c la cui derivata vale 0, ovvero = 0

ϕ

Si calcoli la derivata prima della funzione (x):

( )−f (

f b a)

'

ϕ’(x) = f (x) - .

b−a ( )−f ( )−f

( (

f b a) f b a)

' '

ϕ’(x)

Ma = 0 quindi f (x) - = 0; f (x) =

b−a b−a

( )−f ( )−f

( (a)

f b a) f b .

' ( )=

f c

Poiché appartiene all’intervallo [a; b], si può concludere che

b−a b−a