Analisi - Teorema di Rolle

Se m = M, la funzione f(x) è una funzione costante; ogni funzione costante ha derivata uguale a 0 in ogni punto x che

appartiene ad essa, ovvero:

'

∀ ∈ ( ) =0

x (a;b) , f x

'

In particolare, f (c) = 0.

2) m < M

Si suppone che M è il punto in cui f(x) assume valore massimo e in particolare f (c)= M.

Si consideri un incremento h ≠ 0 che appartiene all’intervallo chiuso [a;b]; in queste condizioni, è possibile affermare

che f(c) ≥ f (c+h).

Portando tutti i fattori al primo membro, si ottiene che f(c) - f (c+h) ≥ 0.

Moltiplicando entrambi i membri della disuguaglianza per (-1), si ha che f(c+h) – f(c) ≤ 0.

Si osservino le seguenti disuguaglianze:

(c +h) (c )

f – f ≥ 0 se h < 0 poiché il numeratore è minore o uguale a 0.

h

(c +h) (c )

f – f ≤ 0 se h > 0 poiché il numeratore è minore o uguale a 0.

h

Entrambe le disuguaglianze rappresentano il rapporto incrementale relativo al punto c e all’incremento h.

Per ipotesi, f(x) è derivabile in ogni punto interno all’intervallo (a;b) e di conseguenza, per definizione di derivabilità

di una funzione, il limite destro è uguale al limite sinistro per h0.