Si risolva le seguente disequazione
[math]x(\\log^2 x +\\log x)>=0[/math]
Dobbiamo innanzitutto definire il dominio: in questo caso c'è solo da imporre esistenza del logaritmo, che è assicurata se e solo se l'argomento è strettamente positivo
[math]x>0[/math]
Ora pssiamo alla risoluzione della disequazione
[math]x(\\log^2 x +\\log x)>=0[/math]
, ma dal momento che
[math]x>0[/math]
per l'esistenza del logaritmo, allora dobbiamo risolvere la sola disequazione [math](\\log^2 x +\\log x)>=0[/math]
. Infatti abbiamo diviso ambo i membri per
[math]x[/math]
: malgrado dividere entrambi i membri per un valore variabile (contenente [math]x[/math]
) è pericoloso in una disequazione per via del segno, questa volta possiamo stare tranquilli perchè il dominio che noi stessi abbiamo definito assicura la positività di [math]x[/math]
Ora ponendo
[math]\\logx=t[/math]
la disequazione diventa
[math]t^2+t>=0[/math]
ovvero
[math]t(t+1)>=0[/math]
cioè, osservando che le radici dell'equazione associata sono banalmente
[math]x=0[/math]
[math]x=-1[/math]
e sapendo che occorre considerare i valori esterni ad essi per garantire la positività , avremo
[math]t>=0[/math]
U [math]t
Ora per
[math]t>=0[/math]
si avrà
[math]\\logx>=0[/math]
[math]->[/math]
[math]x>=1[/math]
, mentre per
[math]t si ha
[math]\\logx
[math]->[/math]
[math]0
In conclusione devono essere verificate contemporaneamente le due condizioni
1)
[math]x>0[/math]
2)
[math]x>=1[/math]
U [math]0
che comportano che la disequazione
[math]x(\\log^2 x +\\log x)>=0[/math]
è soddisfatta per
[math]0 U
[math]x>=1[/math]
.
FINE
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