Si risolva il seguente sistema
[math]\begin{cases} x^2+y^2=29 \\ xy=-10 \ \end{cases}[/math]
Siamo davanti a un sistema simmetrico: trasformando la x in y, e viceversa, il sistema rimane inalterato.
Procediamo come di norma i questi casi.
Notiamo che vale la preziosa uguaglianza
[math]x^2+y^2=(x+y)^2-2xy[/math]
che può verificarsi banalmente sviluppando la parentesi al secondo membro.
Il sistema diventa quindi
[math]\begin{cases} (x+y)^2-2xy=29 \\ xy=-10 \ \end{cases}[/math]
Sostituendo il valore noto di
[math]xy[/math]
avremo
[math]\begin{cases} (x+y)^2+20=29 \\ xy=-10 \ \end{cases}[/math]
[math]\begin{cases} (x+y)^2=9 \\ xy=-10 \ \end{cases}[/math]
[math]\begin{cases} |x+y|=3 \\ xy=-10 \ \end{cases}[/math]
[math]\begin{cases} x+y=+-3 \\ xy=-10 \ \end{cases}[/math]
A questo punto abbiamo due sistemi risolutivi, il primo nel caso
[math]x+y>0[/math]
il secondo se
[math]x+y
Nel primo caso, la somma
[math]s[/math]
delle due radici è pari a 3, e il prodotto [math]p[/math]
a -10, pertanto vale
[math]z^2-sz+p=0[/math]
[math]z^2-3z-10=0[/math]
Equazione che ammette come soluzioni
[math]z_1=5[/math]
e [math]z_2=-2[/math]
pertanto le coppie di soluzioni che soddisfano il sistema 1) sono
[math]\begin{cases} x=5 \\ y=-2 \ \end{cases}[/math]
e [math]\begin{cases} x=-2 \\ y=5 \ \end{cases}[/math]
Il sistema 2) in vece prevede che
[math]s=-3[/math]
pertanto l'equazione da impostare sarà
[math]z^2+3z-10=0[/math]
che ammette come soluzioni
[math]z_1=-5[/math]
e [math]z_2=2[/math]
Quindi la coppia sarà
[math]{(x=-5),(y=2):}[/math]
e [math]{(x=2),(y=-5):}[/math]
FINE
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