Un'urna contiene
[math]n_1[/math]
palle bianche e [math]n_2[/math]
palle nere, mentre una seconda urna ne contiene [math]m_1[/math]
bianche e [math]m_2[/math]
nere. Si sceglie a caso una palla da ciascuna urna e successivamente se ne sceglie a caso una tra le due. Qual è la probabilità che la palla scelta sia bianca? Esaminiamo la prima estrazione. Ci sarà probabilità
[math]n_1/(n_1+n_2)[/math]
di estrarre una pallina bianca dalla prima urna. Questo perché [math]n_1[/math]
sono i casi favorevoli, mentre i casi possibili sono dati dal numero totale delle palle contenute nell'urna in questione, ovvero banalmente [math]n_1+n_2[/math]
. Seguendo il medesimo ragionamento, possiamo facilmente affermare che la probabilità di estrarre una pallina bianca dalla seconda urna è
[math]m_1/(m_1+m_2)[/math]
Ora occorre scegliere una delle due palle estratte.
La probabilità di prendere la pallina estratta dalla prima urna o quella della seconda è[math]1/2[/math]
, ovviamente, visto che non vi è alcuna differenza. Pertanto, la palla bianca della prima estrazione ha probabilità
[math]n_1/(n_1+n_2)[/math]
di essere estratta, e [math]1/2[/math]
di essere scelta poi. Quindi sarà la palla finale con probabilità
[math]1/2 \cdot n_1/(n_1+n_2)[/math]
Stesso discorso per l'altra palla. In conclusione, possiamo dire che la probabilità cercata è
[math]1/2n_1/(n_1+n_2)+1/2m_1/(m_1+m_2)[/math]
FINE
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