Calcolo combinatorio, probabilità e statistica: Un'urna A_1 contiene 5 biglie nere e 2 bianche; un'altra urna A_2 contiene 3 biglie nere e 2 bianche. Si sceglie un'urna a caso e si estrae una pallina.

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Qual è la probabilità di estrarre una biglia bianca?
Sapendo che è stata estratta una biglia nera, qual è la probabilità che l'estrazione sia stata effettuata dall'urna
[math]A_1[/math]
? E dall'urna
[math]A_2[/math]
?

1) Per rispondere al primo quesito dobbiamo considerare due casi: il caso in cui venga scelta la prima urna e il caso in cui venga scelta la seconda; tali eventi hanno entrambi probabilità

[math]1/2[/math]

di verificarsi, quindi possiamo scrivere:

[math] P(A_1) = P(A_2) = \frac{1}{2} [/math]

Se indichiamo con B l'evento "è stata estratta una biglia bianca", la probabilità di estrarre una pallina bianca, sapendo che è stata scelta la prima urna, è:

[math] P(B | A_1) = \frac{2}{7} [/math]

in quanto sono presenti due palline bianche su un totale di 7 palline.

Allo stesso modo possiamo ragionare per la seconda urna:

[math] P(B | A_2) = \frac{2}{5} [/math]

Utilizzando le proprietà della probabilità condizionata, possiamo determinare la probabilità di estrarre una pallina bianca:

[math] P(B) = P(B | A_1) \cdot P(A_1) + P(B | A_2) \cdot P(A_2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{7} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{7} + \frac{1}{5} = \frac{12}{35} = 0.34 [/math]

2) Chiamiamo con N l'evento "è stata estratta una biglia nera"; sfruttando la formula di Bayes, possiamo determinare la probabilità richiesta nel caso dell'urna

[math]A_1[/math]

[math] P(A_1 | N) = \frac{P(N | A_1) \cdot P(A_1)}{P(N | A_1) \cdot P(A_1) + P(N | A_2) \cdot P(A_2)} [/math]

Possiamo determinare le probabilità che compaiono nella formula semplicemente considerando che gli eventi che riguardano le palline nere sono complementari a quelli che riguardano le palline bianche; si ha quindi:

[math] P(N | A_1) = 1 - P(B | A_1) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}[/math]

[math] P(N | A_2) = 1 - P(B | A_2) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}[/math]

Procediamo sostituendo i valori trovati all'interno della formula:

[math] P(A_1 | N) = \frac{\frac{5}{7} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{5}{7} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{5}{14}}{\frac{5}{14} + \frac{3}{10}} = \frac{\frac{5}{14}}{\frac{92}{140}} = [/math]

[math] \frac{\frac{5}{14}}{(\frac{92}{140})} = \frac{50}{92} = \frac{25}{46} = 0.543[/math]

Possiamo applicare lo stesso ragionamento per determinare la probabilità di estrarre una biglia nera dall'urna

[math]A_2[/math]

[math] P(A_2 | N) = \frac{P(N | A_2) \cdot P(A_2)}{P(N | A_1) \cdot P(A_1) + P(N | A_2) \cdot P(A_2)} [/math]

Poiché conosciamo già i valori numerici presenti, possiamo procedere sostituendoli nella formula:

[math] P(A_2 | N) = \frac{\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{5}{7} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{5}{14} + \frac{3}{10}} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{92}{140}} = [/math]

[math] \frac{\frac{3}{10}}{(\frac{92}{140})} = \frac{42}{92} = \frac{21}{46} = 0.456[/math]

Calcolo combinatorio, probabilità e statistica: Un'urna [math] A_1 [/math] contiene 5 biglie nere e 2 bianche; un'altra urna [math] A_2 [/math] contiene 3 biglie nere e 2 bianche. Si sceglie un'urna a caso e si estrae una pallina.

1) Qual è la probabilità di estrarre una biglia bianca? 2) Sapendo che è stata estratta una biglia nera, qual è la probabilità che l'estrazione sia stata effettuata dall'urna [math]A_1[/math]? E dall'urna [math]A_2[/math]?

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