Trovare gli asintoti verticali e orizzontali del grafico della seguente funzione
[math]y=(2-x)/(\sqrt{x^2-2+x})[/math]
Eseguiamo i limiti opportuni
Per gli asintoti verticali:
[math]f(x)=(2-x)/(\sqrt{(x+2)(x-1)})[/math]
[math]lim_(x->1^+)(2-x)/(\sqrt{(x+2)(x-1)})=1/(0^+)=+infty[/math]
[math]lim_(x->-2^-)(2-x)/(\sqrt{(x+2)(x-1)})=4/(0^+)=+infty[/math]
Quindi [math]x=1,x=-2[/math]
sono asintoti verticali Occupiamoci di eventuali asintoti orizzontali
Mettendo in evidenza
[math]x^2[/math]
al radicando si ha [math]lim_(x->+infty)(2-x)/(\sqrt{x^2+x-2})=lim_(x->+infty)(2-x)/(\sqrt(x^2(1+1/x-2/(x^2))))[/math]
Portando fuori dalla radice
[math]x^2[/math]
mettiamo a moltiplicare la radice un [math]|x|[/math]
ma poichè [math]x o infty[/math]
abbiamo che [math]|x|=x[/math]
pertanto [math]lim_(x->+infty)(2-x)/(x \cdot \sqrt{1+1/x-2/(x^2)})=lim_(x->+infty)(2-x)/x=-1[/math]
Infatti la radice è stata omessa perchè il radicando tendeva a
[math]1[/math]
e inoltre si è trascurato il [math]2[/math]
a numeratore, insignificante rispetto all'infinito della [math]x[/math]
. Passiamo ora al limite per
[math]x o -infty[/math]
[math]lim_(x->-infty)(2-x)/(\sqrt{x^2+x-2})=lim_(x->-infty)(2-x)/(\sqrt(x^2(1+1/x-2/(x^2))))[/math]
Il ragionamento è uguale al precedente, ma questa volta dobbiamo ricordare che
[math]|x|=-x[/math]
poichè [math]x>0[/math]
[math]lim_(x->-infty)(2-x)/(-x \cdot \sqrt{1+1/x-2/(x^2)})=1[/math]
Trascurando sempre il
[math]2[/math]
e la radice, si ottiene
[math]lim_(x->-infty)(-x)/(-x)=1[/math]
quindi
[math]y=+-1[/math]
sono asintoti orizzontali FINE
![Studio di funzione: [math]{y}=\frac{{\sqrt{{{x}^{2}-{5}{x}-{6}}}}}{{{2}{x}}}[/math]](https://cdn.skuola.net/shared/thumb/159x141/news_foto/2017/09/radx2-5x-62x.jpg)
![Studio di funzione [math]{y}=\frac{\sqrt{{{x}^{2}-{5}{x}-{6}}}}{{{2}{x}}}[/math] con commento audio](https://cdn.skuola.net/shared/thumb/159x141/news_foto/2009/01/radx2-5x-62x-1.jpg)
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