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Condizione necessaria per la convergenza di un integrale in senso generalizzato

Ipotesi:Sia f:[a,+∞[ ->R continua e integrabile in senso generalizzato e tale che esiste il lim x ->+∞ di f(x)= l
Tesi: allora l=0
Dimostrazione
Per assurdo sia l diverso da 0. Consideriamo il caso in cui 0<=l<+∞.
Allora il lim x ->+∞ f(x)= l se e solo se (dalla definizione di limite) Per ogni ε<0 esiste un k, con k(ε)>=a in funzione di ε tale che per ogni x >= k si ha l-ε<=f(x)<=l+ε. In particolare posto ε=l/2 si ha che per ogni x>=k con k(l/2) si ha l-l/2<=f(x)<=l+l/2 cioè f(x)>= l/2
Ma allora per ogni r>k:
intgr (da a a r) di f(x)dx=intgr (da a a k) di f(x)dx + intgr (da k a r) di f(x)dx che per monotonia dell'integrale è >= di intgr (da k a r) di f(x)dx + intgr (da k a r) di l/2)dx
Quindi otterrò
intgr (da a a r) di f(x)dx >= intgr (da a a k) di f(x)dx + l/2(r-k) che esso al tendere di r a +∞ tende anche esso a +∞. Quindi per il teorema sulla divergenza tramite confronto posso dire che anche intrg (da a a r) di f(x)dx per r ->+∞ tende a +∞. Ma per ipotesi il nostro integrale converge quindi questo dimostrerebbe l'assurdo!
Conclusione
Possiamo concludere affermando che una condizione necessaria per la convergenza è che l=0. La condizione l=0 non è però sufficiente
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