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Teorema di Viviani


Seppur poco conosciuto, il Teorema di Viviani è un Teorema molto interessante e facile da dimostrare. La figura interessata in questo teorema è il triangolo equilatero, e l'enunciato di questo Teorema è il seguente:
In un triangolo equilatero, preso un punto P all'interno di esso, la somma delle distanze di P dai lati del triangolo è pari all'altezza di tale triangolo.

Dimostrazione
Sia
[math]ABC[/math]
un triangolo equilatero e sia P un punto interno.
Prendiamo tre punti sui lati
[math]AB[/math]
,
[math]BC[/math]
e
[math]AC[/math]
, si costruiscano tre triangoli:
[math]APB[/math]
,
[math]BPC[/math]
e
[math]CPA[/math]
.
Sia
[math]S_x[/math]
la superficie di un triangolo X.
Allora sappiamo che:
[math]S_{APB}+S_{BPC}+S_{CPA} = S_{ABC}[/math]
Il che equivale a dire che, sia l il lato di ABC, e h la sua altezza.
[math]\frac{1}{2}lAP + \frac{1}{2}lBP + \frac{1}{2}lCP = \frac{1}{2}lh[/math]
Semplifichiamo raccogliendo
[math]\frac{1}{2}[/math+
[math]lAP+lBP+lCP = lh[/math]
Raccogliamo l.
[math]AP+BP+CP = h[/math]
Da cui si ottiene esplicitamente la tesi!
Per i più curiosi
[math]l = h\frac{2}{\sqrt{3}}[/math]
[math]h = l\frac{\sqrt{3}}{2}[/math]
Ma vale solamente per il triangolo equilatero!
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