Stabilire se la seguente serie a termini di segno variabile converge assolutamente e/o semplicemente
[math]\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}[/math]
La condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta, visto che
[math]\lim_{n \to +\infty} (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}} = 0[/math]
Per studiare la convergenza assoluta, si deve considerare la serie
[math]\sum_{n=1}^{+\infty} |\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}| = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{|{-1}^n|}{|\sqrt{n}|} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}[/math]
che è una serie armonica con esponente minore di uno, e diverge, pertanto la serie proposta non converge assolutamente. Visto la presenza del termine
[math](-1)^n[/math]
, e considerando che [math]\sqrt{n} > 0[/math]
[math]\forall n \in \mathbb{N} setmi
us {0}[/math]
, la serie è a termini di segno alterno. us {0}[/math]
[math]\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0[/math]
(1)
[math]\frac{1}{\sqrt{n}} > \frac{1}{\sqrt{n + 1}}[/math]
(2)
Da (1) e da (2) si nota che le ipotesi del criterio di Leibniz sono soddisfatte, pertanto la serie iniziale converge semplicemente.
FINE
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