Studiare al convergenza semplice e assoluta della seguente serie a termini di segno alterno
[math]\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \\log(1 + \frac{1}{n})[/math]
Dato che
[math]1 + \frac{1}{n} > 1[/math]
[math]\forall n \in \mathbb{N} setmi
us {0}[/math]
allora us {0}[/math]
[math]\\log(1 + \frac{1}{n}) > 0[/math]
[math]\forall n \in \mathbb{N} setmi
us {0}[/math]
, pertanto la serie è effettivamente a termini di segno alterno. us {0}[/math]
Visto che
[math]1 + \frac{1}{n + 1}
[math]\forall n \in \mathbb{N} setmi
us {0}[/math]
us {0}[/math]
allora la successione
[math]{1 + \frac{1}{n}}_{n \ge 1}[/math]
è monotona decrescente, pertanto anche la successione [math]{\\log(1 + \frac{1}{n})}_{n \ge 1}[/math]
è monotona decrescente, visto che il logaritmo in base [math]e[/math]
è una funzione monotona crescente. Pertanto la serie proposta converge semplicemente per il criterio di Leibniz. Per studiare la convergenza assoluta occorre considerare la serie
[math]\sum_{n=1}^{+\infty} |(-1)^n \\log(1 + \frac{1}{n})| = \sum_{n=1}^{+\infty} |\\log(1 + \frac{1}{n})| = \sum_{n=1}^{+\infty} \\log(1 + \frac{1}{n})[/math]
per quanto detto prima sulla positività di
[math]\\log(1 + \frac{1}{n})[/math]
quando [math]n=1,2,\ldots[/math]
. Osservando che
[math]\lim_{n \to +\infty} \frac{\\log(1 + \frac{1}{n})}{\frac{1}{n}} = 1[/math]
si nota che
[math]\\log(1 + \frac{1}{n}) sim \frac{1}{n}[/math]
Ma
[math]\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}[/math]
diverge, perché è una serie armonica con esponente pari a
[math]1[/math]
, pertanto la serie proposta non converge assolutamente per il criterio del confronto asintotico.
FINE
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