Determina le soluzioni della seguente disequazione di secondo grado irrazionale:
[math] \sqrt{x^2 - 4x} > x - 1 [/math]
Svolgimento
Per risolvere questa disequazione irrazionale, dobbiamo impostare un sistema a tre disequazioni in questo modo:
[math]
\begin{cases}
x - 1 > 0 \\
x^2 - 4x \;?\; 0 \\
(\sqrt{x^2 - 4x})^2 \end{cases}[/math]
\begin{cases}
x - 1 > 0 \\
x^2 - 4x \;?\; 0 \\
(\sqrt{x^2 - 4x})^2 \end{cases}[/math]
Risolviamo le disequazioni:
1.
[math] x - 1 > 0 \to x > 1[/math]
2.
[math] x^2 - 4x \;?\; 0 [/math]
[math] x^2 - 4x = 0 [/math]
[math] x(x - 4) = 0 \to x = 0 \;?\; x = 4 [/math]
Prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radici dell'equazione:
[math] x \;?\; 0 \;?\; x \;?\; 4 [/math]
3.
[math] (\sqrt{x^2 - 4x})^2 > (x - 1)^2 [/math]
[math] x^2 - 4x > x^2 + 1 - 2x [/math]
[math] x^2 - 4x - x^2 - 1 + 2x > 0 [/math]
[math] - 2x - 1 > 0 [/math]
[math] 2x + 1 > 0 \to x > -1/2 [/math]
Torniamo al sistema:
[math]
\begin{cases}
x > 1&\\
x \;?\; 0 \;?\; x \;?\; 4 \\
x > - \frac{1}{2} &
\end{cases}
[/math]
\begin{cases}
x > 1&\\
x \;?\; 0 \;?\; x \;?\; 4 \\
x > - \frac{1}{2} &
\end{cases}
[/math]
Determiniamo le soluzioni:
[math] S : x \;?\; 4 [/math]
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