Spazi vettoriali e sottospazi

Spazi vettoriali e sottospazi

Il concetto di spazio vettoriale nasce nel contesto della geometria dei vettori:

L’esempio più semplice immaginabile di spazio vettoriale è rappresentato proprio dallo spazio dei vettori geometrici, rappresentati da segmenti orientati che hanno un punto di applicazione ed un punto finale, direzione e verso.

Le più semplici operazioni che si possono fare tra i vettori geometrici sono quelle che si ritrovano nella definizione astratta di spazio vettoriale:

Definizione

Sia V un insieme non vuoto; V si dice spazio vettoriale su K se esistono:

• Un’operazione binaria interna, denotata con +: V × V → V.
• Un prodotto per scalari denotato con ·: K × V → V.

Tali per cui valgano le seguenti proprietà:

1) v₁ + v₂ = v₂ + v₁ per ogni v₁, v₂ ∈ V.

2) v₁ + (v₂ + v₃) = (v₁ + v₂) + v₃ per ogni v₁, v₂, v₃ ∈ V.

3) Esiste 0 ∈ V tale per cui v + 0 = v per ogni v ∈ V.

4) Per ogni v ∈ V esiste −v ∈ V tale per cui v + (−v) = 0.

5) (λ₁ + λ₂) · v = λ₁ · v + λ₂ · v per ogni λ₁, λ₂ ∈ K e per ogni v ∈ V.

6) λ · (v₁ + v₂) = λ · v₁ + λ · v₂ per ogni λ ∈ K e per ogni v₁, v₂ ∈ V.

7) λ₁ · (λ₂ · v) = (λ₁λ₂) · v per ogni λ₁, λ₂ ∈ K e per ogni v ∈ V.

8) 1 · v = v per ogni v ∈ V.

Nel seguito per semplicità verrà omesso l’uso del · per denotare il prodotto per scalare esterno; in ogni caso sarà chiaro quale sia lo scalare e quale sia il vettore.

Esempio

R è chiaramente uno spazio vettoriale su R rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto.

Sia dato l’insieme R² = R × R = {(x, y): x, y ∈ R}; allora è uno spazio vettoriale su R ponendo

(x₁, x₂) + (y₁, y₂) = (x₁ + y₁, x₂ + y₂), λ(x₁, x₂) = (λx₁, λx₂)

0 = (0, 0), −(x₁, x₂) = (−x₁, −x₂).

La semplice verifica può essere svolta per esercizio; in modo analogo l’insieme Rⁿ = R × · · · × R, n volte, ha una naturale struttura di spazio vettoriale su R ponendo

(x₁, · · ·, x_n) + (y₁, · · ·, y_n) = (x₁ + y₁, · · ·, x_n + y_n), λ(x₁, · · ·, x_n) = (λx₁, · · ·, λx_n).