Spazi vettoriali e sottospazi

1 Spazi vettoriali e sottospazi

Il concetto di spazio vettoriale nasce nel contesto della geometria dei vettori:

l’esempio più semplice immaginabile di spazio vettoriale è rappresentato proprio

dallo spazio dei vettori geometrici, rappresentati da segmenti orientati che hanno

un punto di applicazione ed un punto finale, direzione e verso. Le più semplici

operazioni che si possono fare tra i vettori geometrici sono quelle che si ritrovano

nella definizione astratta di spazio vettoriale:

Sia V un insieme non vuoto; V si dice spazio vettoriale su

Definizione. K

se esistono × →

a) un’operazione binaria interna, denotata con + : V V V

· × →

b) un prodotto per scalari denotato con : V V

K

tali per cui valgano le seguenti proprietà:

∈

1) v + v = v + v per ogni v , v V .

1 2 2 1 1 2 ∈

2) v + (v + v ) = (v + v ) + v per ogni v , v , v V .

1 2 3 1 2 3 1 2 3

∈ ∈

3) esiste 0 V tale per cui v + 0 = v per ogni v V .

∈ −v ∈

4) per ogni v V esiste V tale per cui v + (−v) = 0.

· · · ∈ ∈

5) (λ + λ ) v = λ v + λ v per ogni λ , λ e per ogni v V .

K

1 2 1 2 1 2

· · · ∈ ∈

6) λ (v + v ) = λ v + λ v per ogni λ e per ogni v , v V .

K

1 2 1 2 1 2

· · · ∈ ∈

7) λ (λ v) = (λ λ ) v per ogni λ , λ e per ogni v V .

K

1 2 1 2 1 2

· ∈

8) 1 v = v per ogni v V . ·

Nel seguito per semplicità verrà omesso l’uso del per denotare il prodotto per

scalare esterno; in ogni caso sarà chiaro quale sia lo scalare e quale sia il vettore.

è chiaramente uno spazio vettoriale su rispetto alle usuali op-

Esempio. R R

2 × {(x, ∈

erazioni di somma e prodotto. Sia dato l’insieme = = y) : x, y

R R R R};

2

allora è uno spazio vettoriale su ponendo

R R

(x , x ) + (y , y ) = (x + y , x + y ), λ(x , x ) = (λx , λx )

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2

−(x −x

0 = (0, 0), , x ) = (−x , ).

1 2 1 2

La semplice verifica può essere svolta per esercizio; in modo analogo l’insieme

n × · · · ×

= n volte ha una naturale struttura di spazio vettoriale su

R R R R

ponendo

· · · · · · · · · · · · · · ·

(x , , x )+(y , , y ) = (x +y , , x +y ), λ(x , , x ) = (λx , , λx )

1 n 1 n 1 1 n n 1 n 1 n

2