Definizione e proprietà
Dato un campo
[math]K[/math]
, un insieme [math]V[/math]
, dotato di due operazioni
[math]V imes V \to V: (v_1, v_2) maps o v_1 + v_2[/math]
(somma fra vettori)
[math]K imes V \to V: (\lambda, v) maps o \lambda \cdot v[/math]
(prodotto per scalare)
si dice spazio vettoriale su
[math]K[/math]
se e solo se sono soddisfatte le seguenti proprietà
1) la somma è commutativa:
[math]v_1 + v_2 = v_2 + v_1 \quad \forall v_1, v_2 \in V[/math]
2) la somma è associativa:
[math](v_1 + v_2) + v_3 = v_1 + (v_2 + v_3) \quad \forall v_1, v_2, v_3 \in V[/math]
3) esiste in
[math]V[/math]
l'elemento neutro rispetto alla somma, detto vettore nullo e indicato con [math]O[/math]
: [math]v + O = v \quad \forall v \in V[/math]
4) per ogni elemento
[math]v \in V[/math]
, esiste un elemento opposto, [math]-v \in V[/math]
, tale che se sommato a [math]v[/math]
si ottiene il vettore nullo: [math]\forall v \in V \quad exists (-v) in V: \quad v + (-v) = O[/math]
5) per ogni
[math]v, w \in V[/math]
, e per ogni [math]\lambda, \mu \in K[/math]
, il prodotto per scalare rispetta le seguenti proprietà
[math](\lambda \mu) v = \lambda (\mu v)[/math]
(il prodotto è associativo)
[math](\lambda + \mu) v = \lambda v + \mu v[/math]
[math]\lambda (v + w) = \lambda v + \lambda w[/math]
(distributività della somma rispetto al prodotto)
[math]1 \cdot v = 1[/math]
(elemento neutro rispetto al prodotto)
Esempi di spazi vettoriali
1) l'insieme
[math]\mathbb{R}^n[/math]
, munito delle usuali operazioni di somma fra vettori e prodotto per scalare, è uno spazio vettoriale su campo [math]\mathbb{R}[/math]
2) l'insieme
[math]\mathbb{C}^n[/math]
, munito delle usuali operazioni di somma fra vettori e prodotto per scalare, è uno spazio vettoriale, e può essere considerato tale sia su [math]\mathbb{R}[/math]
che su [math]\mathbb{C}[/math]
3) l'insieme delle matrici di ordine
[math]m imes n[/math]
a coefficienti reali, denotato con [math]\mathbb{R}^{m imes n}[/math]
, munito dell'usuale somma fra matrici e del prodotto righe per colonne è uno spazio vettoriale su [math]\mathbb{R}[/math]
4) l'insieme delle funzioni reali definite su
[math][a,b][/math]
, munito delle usuali operazioni di somma e prodotto, definite come
[math](f + g)(x) = f(x) + g(x)[/math]
[math](\lambda \cdot f)(x) = \lambda \cdot f(x)[/math]
è uno spazio vettoriale su
[math]\mathbb{R}[/math]
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