Sistemi di equazioni con soluzioni impossibili e determinati
Primo esempio:
[math]\begin{cases} \frac{x-y}{x+4}=2 \\
\frac{x+5}{y+3}=-1 \end{cases} C.E.:x\not{=}-4, y \not{=} -3
\begin{cases} x-y=2x+8 \\
x+5=-y-3 \end{cases} \\
\begin{cases} x+y=-8 \\
x+y=-8 \end{cases} Cramer:
D=1-1=0 \\
Dx=-8+8=0 \\
Dy=-8+8=0[/math]
\frac{x+5}{y+3}=-1 \end{cases} C.E.:x\not{=}-4, y \not{=} -3
\begin{cases} x-y=2x+8 \\
x+5=-y-3 \end{cases} \\
\begin{cases} x+y=-8 \\
x+y=-8 \end{cases} Cramer:
D=1-1=0 \\
Dx=-8+8=0 \\
Dy=-8+8=0[/math]
Il sistema delle equazioni risulta essere indeterminato in quanto i discriminanti sono tutti nulli, oppure perché il rapporto tra i coefficienti delle x, delle y e del termine noto sono uguali. Pertanto, possiamo concludere che:
[math]Indeterminata, ∀x,y \in \mathbb{R}[/math]
.Secondo esempio:
[math]\begin{cases} \frac{3}{2}x-y+(x-y)^{2}-4xy=\frac{1}{2}+x^{2}+y^{2}-6xy \\
\frac{3}{2}(x-1)-(y-\frac{1}{3}x)=\frac{1}{3}x-\frac{1}{2} \end{cases} \\
\begin{cases} \frac{3}{2}x-y=\frac{1}{2} \\
\frac{3}{2}x-y=1 \end{cases} Impossibile[/math]
\frac{3}{2}(x-1)-(y-\frac{1}{3}x)=\frac{1}{3}x-\frac{1}{2} \end{cases} \\
\begin{cases} \frac{3}{2}x-y=\frac{1}{2} \\
\frac{3}{2}x-y=1 \end{cases} Impossibile[/math]
Il sistema delle equazioni risulta essere impossibile in quanto il rapporto tra i coefficienti delle x e i coefficienti delle y è uguale mentre il rapporto tra i termini noti è disuguale. Pertanto possiamo concludere che il sistema è impossibile in quanto l'insieme
[math]S[/math]
delle soluzioni:
[math]Impossibile, S=\not{O}, \not{∃}x,y \in \mathbb{R}, ∃x,y \in \mathbb{C}, \mathbb{I}, coniugate[/math]
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