Risolvere la seguente disequazione
[math]\\sin^3(x) + \\cos^3(x) > 0[/math]
Ricordando il prodotto notevole
[math](a^3 + b^3) = (a + b)(a^2 - ab + b^2)[/math]
risulta
[math]\\sin^3(x) + \\cos^3(x) = (\\sin(x) + \\cos(x))(\\sin^2(x) - \\sin(x)\\cos(x) + \\cos^2(x)) = (\\sin(x) + \\cos(x))(1 - \frac{\\sin(2x)}{2})[/math]
La funzione
[math]\\sin(2x)[/math]
è limitata fra [math]-1[/math]
e [math]1[/math]
, quindi [math]\frac{\\sin(2x)}{2}[/math]
è limitata fra [math]-\frac{1}{2}[/math]
e [math]\frac{1}{2}[/math]
, di conseguenza [math]1 - \frac{\\sin(2x)}{2} > 0[/math]
[math]\forall x \in \mathbb{R}[/math]
, pertanto la disequazione è soddisfatta per
[math]\\sin(x) + \\cos(x) > 0[/math]
Le soluzioni dell'equazione associata si trovano risolvendo il sistema
[math]\egin{cases} \\sin(x) = - \\cos(x) \\ \\sin^2(x) + \\cos^2(x) = 1 \ \end{cases} = {(\\sin(x) = - \\cos(x)),(\\cos^2(x) + \\cos^2(x) = 1):} = {(\\sin(x) = - \\cos(x)),(\\cos(x) =\\pm \frac{\sqrt{2}}{2}):}[/math]
da cui
[math]x_1 = - \frac{\\pi}{4} + 2 k \\pi \quad \quad x_2 = \frac{3}{4} \\pi + 2 k \\pi[/math]
Pertanto la soluzione della disequazione è
[math]- \frac{\\pi}{4} + 2 k \\pi
FINE
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