Risolvi il seguente sistema di disequazioni di secondo grado:
[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
frac{(2x - 1)^2}{4} - x + 1 > frac{1}{4} &\
(x + 1)^2 + 2x > 1 &
end{array}\right.
[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
frac{(2x - 1)^2}{4} - x + 1 > frac{1}{4} &\
(x + 1)^2 + 2x > 1 &
end{array}\right.
[math][/math]
Svolgimento
Cominciamo risolvendo la prima disequazione:
[math] frac((2x - 1)^2)(4) - x + 1 > 1/4 [/math]
Svolgiamo il quadrato e calcoliamo il minimo comune multiplo.
[math] frac(4x^2 + 1 - 4x)(4) - x + 1 - 1/4 > 0[/math]
[math] frac(4x^2 + 1 - 4x - 4x + 4 - 1)(4) > 0[/math]
[math] frac(4x^2 - 8x + 4 )(4) > 0[/math]
Mettiamo in evidenza e semplifichiamo:
[math] frac(4 (x^2 - 2x + 1) )(4) > 0[/math]
[math] x^2 - 2x + 1 > 0 [/math]
Questo trinomio è il quadrato di un binomio:
[math] (x - 1) ^2 > 0 [/math]
Un quadrato è sempre positivo, ma in questo caso dobbiamo escludere il caso in cui esso sia nullo:
[math] (x - 1) ^2 > 0 ∀ x ∈ ℛ , x ≠1[/math]
Passiamo ora alla seconda disequazione:
[math] (x + 1)^2 + 2x > 1 [/math]
Svolgiamo il quadrato:
[math] x^2 + 1 + 2x + 2x - 1 > 0 [/math]
[math] x^2 + 4x > 0 [/math]
Passiamo all'equazione associata e troviamo le soluzioni mediante la legge dell'annullamento del prodotto:
[math] x^2 + 4x = 0 [/math]
[math] x ( x + 4) = 0 [/math]
[math] x + 4 = 0 \to x = - 4 [/math]
[math] x = 0 [/math]
Poiché la disequazione è maggiore di zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radice dell'equazione associata:
[math] S : x > - 4 ∨ x > 0 [/math]
Torniamo al sistema:
[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
∀ x ∈ ℛ , x ≠1 &\
x 0 &
end{array}\right.
[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
∀ x ∈ ℛ , x ≠1 &\
x 0 &
end{array}\right.
[math][/math]
Troviamo le soluzioni:
[math] S : x > - 4 ∨ x > 0 ∧ x ≠1 [/math]
![Equazioni esponenziali e logaritmiche: Risolvere il seguente sistema di disequazioni esponenziali: left{ \begin{array}{rl} 7^x · \sqrt[x]{49} : \sqrt[3]{(frac{1}{7})^{-2x-5}} > 0 &\ \sqrt[3]{1 - 3 · 2^x · (2^x - 1)} - 2^x + 1 > 0 & end{array}\rig](https://cdn.skuola.net/shared/thumb/159x141/news_foto/2017/08/Schermata-2017-08-19-alle-17.20.38-300x121.png)
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