Numeri complessi: Risolvere la seguente equazione con numeri complessi: z^3 = 1

Per risolvere unequazione di questo tipo dobbiamo procedere considerando la rappresentazione esponenziale dei numeri complessi.
Un numero complesso

pu essere scritto in questo modo:

dove

rappresenta il modulo di , mentre un angolo che rappresenta largomento del numero complesso.
Langolo servir per determinare la posizione delle soluzioni sulla circonferenza goniometrica; ricordiamo, infatti, che vale la seguente uguaglianza:

La nostra equazione, quindi, pu essere espressa in una nuova forma, pi facilmente risolvibile:

Notiamo che, affinch luguaglianza sia verificata, necessario che

e che .

Possiamo quindi impostare il seguente sistema:

Nella risoluzione dellequazione dobbiamo tener conto del fatto che, poich lesponente di

3, avremo esattamente tre soluzioni; ci significa che i valori che pu assumere il coefficiente sono .

Dalla prima equazione risulta evidente che deve essere

.
Risolviamo ora la seconda equazione; ricordiamo che sono validi tutti gli angoli multipli di :

Quindi:

Determiniamo i tre angoli che individuano le tre soluzioni dellequazione:

Ora dobbiamo scrivere i numeri complessi

, , nella forma .
Per farlo, ricorriamo alla rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi, ovvero sfruttiamo luguaglianza:

Nel primo caso abbiamo:

Nel secondo caso:

E nellultimo caso:

Come possiamo notare, le soluzioni sono una reale e due complesse coniugate; rappresentando le soluzioni ottenute su una circonferenza goniometrica possiamo notare che esse individuano i vertici di un triangolo equilatero.