Numeri complessi: Risolvere la seguente equazione con numeri complessi: z^3 = 1

di _stan

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Per risolvere unequazione di questo tipo dobbiamo procedere considerando la rappresentazione esponenziale dei numeri complessi.
Un numero complesso

[math]z[/math]

pu essere scritto in questo modo:

[math] z = \
ho e^{i heta}[/math]

dove

[math]\
ho[/math]

rappresenta il modulo di

[math]z[/math]

, mentre

[math] heta[/math]

un angolo che rappresenta largomento del numero complesso.
Langolo

[math] heta[/math]

servir per determinare la posizione delle soluzioni sulla circonferenza goniometrica; ricordiamo, infatti, che vale la seguente uguaglianza:

[math] e^{i heta} = \\cos( heta) + i \\sin( heta) [/math]

La nostra equazione, quindi, pu essere espressa in una nuova forma, pi facilmente risolvibile:

[math] (\
ho e^{i heta})^3 = 1 o \
ho^3 e^{ 3i heta} = 1 [/math]

Notiamo che, affinch luguaglianza sia verificata, necessario che

[math] \
ho = 1[/math]

e che

[math] e^{i heta} = e^0 = 1[/math]

[math] e^{ 3i heta} = e^{0 + 2k?} = 1[/math]

Possiamo quindi impostare il seguente sistema:

[math] \begin{cases} \
ho^3 = 1 \\ 3 heta = 0 + 2k \pi \ \end{cases} [/math]

Nella risoluzione dellequazione dobbiamo tener conto del fatto che, poich lesponente di

[math]z[/math]

3, avremo esattamente tre soluzioni; ci significa che i valori che pu assumere il coefficiente

[math]k[/math]

sono

[math] 0, 1, 2[/math]

Dalla prima equazione risulta evidente che deve essere

[math] \
ho = 1[/math]

.
Risolviamo ora la seconda equazione; ricordiamo che sono validi tutti gli angoli

[math] heta[/math]

multipli di

[math]360[/math]

[math] e^{ 3i heta} = e^{0} o 3 heta = 2k? [/math]

Quindi:

[math] heta = frac(2k?)(3) [/math]

Determiniamo i tre angoli che individuano le tre soluzioni dellequazione:

[math] k = 0 o heta = 0 [/math]

[math] k = 1 o heta = frac(2?)(3) [/math]

[math] k = 2 o heta = frac(4?)(3) [/math]

Ora dobbiamo scrivere i numeri complessi

[math] z_1[/math]

[math] z_2[/math]

[math] z_3[/math]

nella forma

[math] a + ib[/math]

.
Per farlo, ricorriamo alla rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi, ovvero sfruttiamo luguaglianza:

[math] z = e^{i heta} = \\cos( heta) + i \\sin( heta) [/math]

Nel primo caso abbiamo:

[math] z_1 = \\cos(0) + i \\sin(0) = 1 [/math]

Nel secondo caso:

[math] z_2 = \\cos(frac(2?)(3)) + i \\sin(frac(2?)(3)) = -1/2 + frac(\sqrt3){2} i [/math]

E nellultimo caso:

[math] z_3 = \\cos(frac(4?)(3)) + i \\sin(frac(4?)(3)) = -1/2 - frac(\sqrt3){2} i [/math]

Come possiamo notare, le soluzioni sono una reale e due complesse coniugate; rappresentando le soluzioni ottenute su una circonferenza goniometrica possiamo notare che esse individuano i vertici di un triangolo equilatero.

Numeri complessi: Risolvere la seguente equazione con numeri complessi: z^3 = 1

Per risolvere unequazione di questo tipo dobbiamo procedere considerando la rappresentazione esponenziale dei numeri complessi. Un numero complesso z può essere scritto in questo modo: z =...

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