Sia data l'equazione di secondo grado ax^2+bx+c = 0.
Risolvere graficamente un'equazione di secondo grado significa disegnare la funzione associata, individuare i punti di intersezione del grafico con l'asse delle x e prenderli come radici dell'equazione stessa.
La funzione associata ha come grafico una parabola. Ogni parabola ha una concavità, che può essere rivolta verso l'alto o verso il basso.
La concavità è data dal segno del coefficiente del termine di secondo grado:- se è positivo, essa è rivolta verso l'alto e la parabola ha un punto di minimo;
- se è negativo, essa è rivolta verso il basso e la parabola ha un punto di massimo.
Il punto di massimo o di minimo viene detto vertice della parabola.
Essendo un punto in un piano cartesiano, il vertice è identificato da una coppia di coordinate (x;y) tali che:- x = -b/2a ---> è il rapporto tra il coefficiente del termine di primo grado e il doppio del coefficiente del termine di secondo grado, cambiato di segno;
- y = f(x) ---> si trova sostituendo -b/2a a x nella funzione associata y = f(x) = f(-b/2a) = a(-b/2a)^2+b(-b/2a)+c .
Ogni parabola di questo tipo ha un asse di simmetria, dato dalla retta passante per il vertice e parallela all'asse delle ordinate.
Per disegnare una parabola si ha bisogno di almeno due o tre punti guida che sono facilmente trovabili:
1) si fissa un valore x a scelta;
2) si trova y = f(x) sostituendo la x scelta nella funzione associata data;
3) identificate le coordinate x e y, si disegna il punto (x;y).
4) si costruisce il simmetrico del punto trovato rispetto all'asse di simmetria.
1) Si calcolano le coordinate x e y del vertice della parabola come spiegato in precedenza;
2) Si disegna nel piano cartesiano il vertice (si può già stabilire se è un punto di massimo o di minimo, guardando il segno del coefficiente del termine di secondo grado, come spiegato in precedenza);
3) Si prendono sul piano cartesiano alcuni punti guida, come spiegato in precedenza, per il disegno della parabola: più punti si prendono e maggiore è la precisione con la quale si costruisce il grafico. Come già detto, per ogni punto individuato si deve disegnare il suo simmetrico rispetto all'asse della parabola, per ottenere alcuni punti alla sinistra e altri alla destra dell'asse;
4) Con precisione, si traccia la parabola;
5) Disegnata la parabola, si identificano i punti di intersezione della stessa con l'asse delle x. Questi punti corrispondono alle soluzioni o radici dell'equazione data in partenza. Se tale intersezione è un insieme vuoto, l'equazione non ha soluzioni e quindi è impossibile.
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