Principi di equivalenza e risoluzione di un'equazione

Equazioni equivalenti

Due equazioni, contenenti le medesime incognite, si dicono equivalenti quando tutte le soluzioni della prima sono soluzioni anche della seconda, e tutte quelle della seconda lo sono anche della prima.

Di conseguenza, per verificare se un'equazione equivalente ad un'altra non basta controllare che tutte le sue soluzioni siano anche soluzioni della seconda, ma occorre verificare anche che tutte quelle della seconda siano anche soluzioni della prima.

Esempio di equazioni equivalenti

Consideriamo le seguenti due equazioni:

Gli insiemi delle soluzioni della prima e della seconda equazione sono, rispettivamente:

Poiché gli insiemi sono uguali, possiamo concludere che le due equazioni sono equivalenti.

Esempio di equazioni non equivalenti

Consideriamo ora le seguenti equazioni:

I loro insiemi delle soluzioni sono:

Possiamo notare che le soluzioni della prima equazione sono anche soluzioni della seconda, ma non tutte le soluzioni della seconda lo sono anche della prima; gli insiemi delle soluzioni, infatti, non coincidono.
Possiamo quindi concludere che le equazioni non sono equivalenti.

L'equivalenza di equazioni gode della proprietà transitiva, quindi due equazioni che sono equivalenti ad una terza sono anche equivalenti fra loro.

Trasformare un'equazione significa passare da essa ad un'altra equivalente.

Quando si risolve un'equazione, si trasforma l'equazione, mediante diversi passaggi, in un'equazione equivalente, passando per equazioni intermedie che sono tutte equivalenti a quella data.

Alla fine, si ottiene un'equazione molto semplificata, di cui facile calcolare le soluzioni.

Vediamo ora alcuni principi di equivalenza che ci permettono di trasformare un'equazione in un'altra equivalente.

Primo principio di equivalenza

aggiungendo (o sottraendo) ad ambedue i membri di un'equazione una medesima espressione algebrica intera si ottiene un'equazione equivalente a quella data.

Questo principio ci dice, quindi, che, data un'equazione in una incognita, con primo membro A e secondo membro B, possiamo aggiungere o togliere un'espressione algebrica M senza che l'equazione venga modificata, ottenendo cioè un'equazione equivalente:

Da questa proprietà derivano alcune importanti conseguenze:

Regola di eliminazione

Se uno stesso termine figura, come addendo, nei due membri di unequazione, esso può essere eliminato, poiché questa operazione equivale a togliere ad entrambi i membri dellequazione una stessa quantità.

esempio: nell'equazione

possiamo eliminare il termine -3x, poiché esso compare sia al primo che al secondo membro; otteniamo così, l'equazione equivalente:

Regola del trasporto

Si può sempre trasportare un termine di unequazione da un membro all'altro, purché gli si cambi il segno. Questa operazione, infatti, equivale ad aggiungere ad entrambi i membri il termine opposto a quello in questione.

esempio consideriamo l'equazione

Se vogliamo trasportare al primo membro il termine -8x dobbiamo aggiungere ad entrambi i membri dell'equazione il suo opposto, cioé 8x:

In questo modo, i termini -8x e 8x si semplificano al secondo membro, mentre nel primo vi rimane 8x:

Possiamo quindi dire che in un'equazione si possono trasportare tutti i termini del secondo membro al primo, cosicché al secondo membro rimanga zero.

Secondo principio di equivalenza delle equazioni

moltiplicando o dividendo entrambi i membri di unequazione per uno stesso numero diverso da zero, o per una stessa espressione che non possa annullarsi e che, se contiene incognite, sia definita per qualunque valore ad esse attribuito, si ottiene unequazione equivalente a quella data.

Essendo quindi A il primo membro di un'equazione, e B il secondo, possiamo moltiplicare o dividere sia A che B per una stessa quantità M con le proprietà sopra descritte, ottenendo un'equazione equivalente:

Vediamo alcune conseguenza che derivano da questo principio:

Se i due membri di unequazione hanno un fattore numerico comune, questo può essere eliminato, poiché questo equivale a dividere entrambi i membri dellequazione per una stessa quantità.

esempio nell'equazione

il numero 3 un fattore comune al primo e al secondo membro; possiamo quindi dividere entrambi per 3:

Cambiando i segni a tutti i termini di unequazione se ne ottiene unaltra equivalente alla data. Infatti, questa operazione equivale a moltiplicare entrambi i membri per -1.

Moltiplicando entrambi i membri di unequazione intera per una espressione conveniente si pu trasformare lequazione in unaltra equivalente in cui non compaiono denominatori.

A questo scopo, basta moltiplicare entrambi i membri dell'equazione per il m.c.m. dei denominatori che figurano nell'equazione, e così si libera l'equazione dai denominatori.

esempio: consideriamo l'equazione

Il m.c.m. dei denominatori 18; quindi, per eliminare i denominatori e rendere l'equazione pi semplice, moltiplichiamo ambo i membri per 18:

Svolgiamo la moltiplicazione, e otteniamo l'equazione equivalente:

Grado di un'equazione in una incognita

Consideriamo un'equazione in una incognita in cui, effettuando vari passaggi, tutti i termini sono stati portati al primo membro, mentre il secondo membro zero. Unequazione di questo tipo detta in forma canonica, o anche in forma normale.

Si definisce grado di unequazione in una incognita x, scritta in forma canonica, il grado del polinomio che compare al primo membro rispetto alla lettera x.