Rappresentazioni di sottospazi euclidei

Rappresentazioni di sottospazi euclidei

Definizione
h + 1 punti P0, P1, . . . , Ph ∈ En si dicono affinemente indipendenti se i vettori liberi −→P0P1, . . . , −→P0Ph sono linearmente indipendenti in E~.
Proposizione
Dati h + 1 punti affinemente indipendenti P0, P1, . . . , Ph di E, esiste uno e un solo sottospazio euclideo h-dimensionale di E che li contiene.
Diciamo che sistema lineare rappresenta un sottospazio euclideo H relativamente ad un riferimento cartesiano R = (O, B~) se un punto P appartiene a H se e solo se le sue coordinate cartesiane rispetto a R soddisfano il sistema.
Diciamo che un sistema lineare rappresenta la giacitura di H relativamente alla base B~ se un vettore ~u appartiene a H~ se e solo se le sue componenti rispetto a B~ soddisfano il sistema.
Proposizione
Fissato in E^n un riferimento cartesiano R = (O, B~), ogni sottospazio euclideo h-dimensionale H di E^n(0 equazioni in n incognite il sistema lineare omogeneo S0 associato a S rappresenta, relativamente alla
base B~, la giacitura di H.
Caso particolare: Ogni iperpiano di E^n pu`o essere rappresentato da una equazione lineare in n incognite: a1x1 + · · · + anxn + b = 0 con (a1, . . . ,an) diverso da (0, . . . , 0).