Radice di due

File: Radice di due 2011 Data: 01/11/2011 Ora: 18.03.55

È noto che la misura della diagonale di un quadrato non è esprimibile

come multiplo razionale della misura del lato.

La diagonale, d'altra parte, è un segmento, e a esso deve poter essere

associata una misura.

L'insieme dei numeri razionali è insufficiente alla descrizione delle

misure di tutti

i segmenti, fissata una unità di misura.

Teorema - Assegnati due numeri razionali a e b, con a < b, esistono

infiniti numeri

razionali maggiori di a e minori di b.

Dimostrazione - È evidente la verità della catena di uguaglianze

seguente: a a a b b b

#1: a = 13 + 13 < 13 + 13 < 13 + 13 = b

2 2 2 2 2 2

Allora il numero

a + b

#2: c = 13

2

che è un numero razionale, soddisfa la tesi.

Costruito c, si possono evidentemente costruire infiniti altri numeri

razionali che

soddisfano la tesi.

Definizione - Un insieme che soddisfa la proprietà descritta dal teorema

precedente

si dice denso.

Pur essendo denso, l'insieme dei numeri razionali è insufficiente a

risolvere le nostre

esigenze di misura.

Per descrivere il nuovo numero, adatto a rappresentare la misura della

diagonale rispetto

al lato, si introduce una nuova espressione simbolica:

#3: √2

Possiamo dire che è il numero, il cui quadrato è 2.

Di che numero si tratta? In quale relazione sta con gli altri numeri? Che

cosa rappresenta?

Sappiamo che, se a, b e c sono tre numeri razionali positivi, allora

dalla disuguaglianza

#4: a < b < c

segue la disuguaglianza

2 2 2

#5: a < b < c

e viceversa. Se il nuovo numero si deve armoniosamente inserire tra i

numeri razionali,

dalla relazione vera tra i quadrati

Pagina: 1

File: Radice di due 2011 Data: 01/11/2011 Ora: 18.03.55

#6: 1 < 2 < 4

segue che

#7: 1 < √2 < 2

Per caratterizzare più precisamente il nuovo numero, suddividiamo

l'intervallo chiuso [1;2]

in dieci parti, ottenendo in forma decimale

 n 

#8: VECTOR1 + 13, n, 0, 10

 10 

#9: [1, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 2]

I quadrati dei numeri introdotti sono

 n 2 

#10: VECTOR1 + 13 , n, 0, 10

 10  

#11: [1, 1.21, 1.44, 1.69, 1.96, 2.25, 2.56, 2.89, 3.24, 3.61, 4]

Poiché 1.96 < 2 < 2.25, si può concludere che

#12: 1.4 < √2 < 1.5

Il procedimento introdotto può essere ripetuto tante volte quante si

vuole e procedere all'infinito.

Suddividendo l'intervallo [1.4;1.5]

 n 

#13: VECTOR1.4 + 13, n, 0, 10

 100 

#14: [1.4, 1.41, 1.42, 1.43, 1.44, 1.45, 1.46, 1.47, 1.48, 1.49, 1.5]

ed elevando al quadrato si ottiene

 n 2 

#15: VECTOR1.4 + 13 , n, 0, 10

 100  

#16: [1.96, 1.9881, 2.0164, 2.0449, 2.0736, 2.1025, 2.1316, 2.1609,

2.1904, 2.2201, 2.25]

e quindi

#17: 1.41 < √2 < 1.42

Proseguendo  n 

#18: VECTOR1.41 + 13, n, 0, 10

 1000 

Pagina: 2

File: Radice di due 2011 Data: 01/11/2011 Ora: 18.03.55

#19: [1.41, 1.411, 1.412, 1.413, 1.414, 1.415, 1.416, 1.417, 1.418,

1.419, 1.42]

 n 2 

#20: VECTOR1.41 + 13 , n, 0, 10

 1000  

#21: [1.9881, 1.990921, 1.993744, 1.996569, 1.999396, 2.002225,

2.005056, 2.007889, 2.010724, 2.013561, 2.0164]

#22: 1.414 < √2 < 1.415

Stiamo ottenendo approssimazioni razionali sempre migliori di √2.

Il numero 1.414 è detto, per esempio, approssimazione per difetto di √2 a

meno di 10^(-3) (un millesimo) poichè

#23: √2 - 1.414 < 1.415 - 1.414 = 0.001

Le approssimazioni per difetto di √2 a meno di 10^(-n) si possono

ottenere con la funzione predefinita Approx(u,n),

che di un numero u fornisce le prime n cifre significative arrotondando

per difetto. Esempi:

#24: APPROX(675432, 3) 5

#25: 6.75—10

#26: APPROX(0.005678953, 3)

#27: 0.00567

Poiché √2 ha una parte intera composta da una sola cifra, la scrittura

Approx(√2,n+1) restituisce l'approssimazione

di √2 a meno 10^(-n). Esempi:

#28: APPROX(√2, 5)

#29: 1.4142

#30: APPROX(√2, 6)

#31: 1.41421

Le approssimazioni di √2 per eccesso a meno di 10^(-n) si possono

ottenere sommando alla precedenti l'opportuna

potenza di 10. Esempio: l'approssimazione per eccesso a meno di 10^(-5) è

restituita da -5

#32: APPROX(√2, 6) + 10

#33: 1.41422

Se si approssima √2, per esempio, mediante la scrittura

Pagina: 3

File: Radice di due 2011 Data: 01/11/2011 Ora: 18.03.55

#34: APPROX(√2, 10)

#35: 1.414213562

si possono leggere, nel risultato ottenuto, gli elementi della

successione delle approssimazioni per difetto di √2

a meno di un decimo, di un centesimo, di un millesimo, ..., di 10^(-9),

notando che

#36: 1.4 < 1.41 < 1.414 < 1.4142 < 1.41421 < 1.414213 < 1.4142135 <

1.41421356 < 1.414213562

Una successione si dice non decrescente se ogni elemento è minore di

quello che lo segue o uguale a quello che lo segue.

La successione delle approssimazioni per difetto a meno di 10^(-n) del

numero √2 è una successione non decrescente.

Indichiamo il suo generico elemento con d(√2,n). Allora (d(√2,n) ≤ d(√

2,m)) se e solo se (n ≤ m).

Dalla successione delle appossimazioni per difetto si ottiene facilmente

la successione delle approssimazioni per eccesso

e si nota che

#37: 1.5 > 1.42 > 1.415 > 1.4143 > 1.41422 > 1.414214 > 1.4142136 >

1.41421357 > 1.414213563

La successione delle approssimazioni per eccesso e(√2,n) è evidentemente

non crescente.

Esaminiamo una approssimazione di √2 con molte cifre significative (per

esempio, 100):

#38: PrecisionDigits ≔ 100

#39: APPROX(√2)

#40: 1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379~

90732478462107038850387534327641572

Notiamo la comparsa, ogni tanto, di uno zero nella successione delle

cifre decimali. Ciò giustifica la caratterizzazione

delle successioni d(√2,n) ed e(√2,n) come successioni rispettivamente non

decrescenti e non crescenti.

Notiamo inoltre che le cifre decimali si susseguono senza alcuna

periodicità. È questo un preciso segnale del fatto che

√2 non è un numero razionale.

Ad ogni numero razionale infatti corrisponde un allineamento decimale

limitato o illimitato periodico, semplice o misto. Viceversa è possibile

dimostrare che a ogni allineamento decimale limitato o illimitato

periodico , semplice o misto, corrisponde un numero razionale.

Un numero costruito mediante un allineamento decimale, privo di

periodicità, è un numero irrazionale. Gli esempi precedenti fanno intuire

che l'assenza di periodicità non può essere dimostrata col calcolo,

Pagina: 4

File: Radice di due 2011 Data: 01/11/2011 Ora: 18.03.55

perché il numero di cifre del periodo è finito, ma privo di un

limite superiore. L'irrazionalità di un numero deve essere provata con

metodi differenti, come quello basato sulla dimostrazione

per assurdo sfruttato nel caso di √2.

Verifichiamo l'assenza di periodicità nell'allimento decimale associato a

√2 utlizzando le potenzialità di Derive.

#41: PrecisionDigits ≔ 5000

#42: APPROX(√2)

#43: 1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379~

9073247846210703885038753432764157273501384623091229702492483605~

5850737212644121497099935831413222665927505592755799950501152782~

0605714701095599716059702745345968620147285174186408891986095523~

2923048430871432145083976260362799525140798968725339654633180882~

9640620615258352395054745750287759961729835575220337531857011354~

3746034084988471603868999706990048150305440277903164542478230684~

9293691862158057846311159666871301301561856898723723528850926486~

1249497715421833420428568606014682472077143585487415565706967765~

3720226485447015858801620758474922657226002085584466521458398893~

9443709265918003113882464681570826301005948587040031864803421948~

9727829064104507263688131373985525611732204024509122770022694112~

7573627280495738108967504018369868368450725799364729060762996941~

3804756548237289971803268024744206292691248590521810044598421505~

9112024944134172853147810580360337107730918286931471017111168391~

6581726889419758716582152128229518488472089694633862891562882765~

9526351405422676532396946175112916024087155101351504553812875600~

5263146801712740265396947024030051749531886292563138518816347800~

1569369176881852378684052287837629389214300655869568685964595155~

5016447245098368960368873231143894155766510408839142923381132060~

5243362948531704991577175622854974143899918802176243096520656421~

1827316726257539594717255934637238632261482742622208671155839599~

9265211762526989175409881593486400834570851814722318142040704265~

0905653233339843645786579679651926729239987536661721598257886026~

3363617827495994219403777753681426217738799194551397231274066898~

3299898953867288228563786977496625199665835257761989393228453447~

3569479496295216889148549253890475582883452609652409654288939453~

8646625744927556381964410316979833061852019379384940057156333720~

5480685405758679996701213722394758214263065851322174088323829472~

8761739364746783743196000159218880734785761725221186749042497736~

6929207311096369721608933708661156734585334833295254675851644710~

7578486024636008344491148185876555542864551233142199263113325179~

7060843655970435285641008791850076036100915946567067688360557174~

0076756905096136719401324935605240185999105062108163597726431380~

6054670102935699710424251057817495310572559349844511269227803449~

1350663756874776028316282960553242242695753452902883876844642917~

3282770888318087025339852338122749990812371892540726475367850304~

8215918018861671089728692292011975998807038185433325364602110822~

9927929307287178079988809917674177410898306080032631181642798823~

1171543638696617029999341616148786860180455055539869131151860103~

8637532500455818604480407502411951843056745336836136745973744239~

8855328517930896037389891517319587413442881784212502191695187559~

3444387396189314549999906107587049090260883517636224749757858858~

3680374579311573398020999866221869499225959132764236194105921003~

2802614987456659968887406795616739185957288864247346358588686449~

Pagina: 5

File: Radice di due 2011 Data: 01/11/2011 Ora: 18.03.55

6822386006983352642799056283165613913942557649062065186021647263~

0333629750756978706066068564981600927187092921531323682813569889~

3709741650447459096053747279652447709409924123871061447054398674~

3647338477454819100872886222149589529591187892149179833981083788~

2781530655623158103606486758730360145022732088293513413872276841~

7667843690529428698490838455744579409598626074249954916802853077~

3989382960362133539875320509199893607513906444495768456993471276~

3645071632791547015977335486389394232572775400382602747856741725~

8095141630715959784981800944356037939098559016827215403458158152~

1004936662953448827107292396602321638238266612626830502572781169~

4510353793715688233659322978231929860646797898640920856095581426~

1436363100461559433255047449397593399912541953230093217530447653~

3964706627611661753518754646209676345587386164880198848497479264~

0450654448969100407942118169257968575637848814989864168549949163~

5761448404702103398921534237703723335311564594438970365316672194~

9049351882905806307401346862641672470110653463493916407146285567~

9801779338144240452691370666097776387848662380033923243704741153~

3187253190601916599645538115788841380843323210533767461812178014~

2960928324113627525408873729051294073394794330619439569367020794~

2951587822834932193166641113015495946983789776743444353933770995~

7134988407890850815892366070088658105470949790465722988880892461~

2828160131337010290802909997456478495815456146487155163905024198~

5790613109345878330620026220737247167668545549990499408571080992~

5759928893236615438271955005781625133038153146577907926868500806~

9844284791524242754410268057563215653220618857512251130639370253~

6292716196825125919202521605870118959673224423926742373449076464~

6727375347964598819149807931718002423855453886038368310800779182~

4664627541174442500187277795181643834514634612990207633430179685~

5438563166772351838933666704222211093914493028796381283988931173~

1308430042125550185498506529455637766031461255909104611384768282~

3595924772286290426427361632645854433928772638603431498048963973~

6332975488592568114929683612672589857383321643666348702347730261~

0106130507298611534129948808774473111229542652751653665911730142~

3606265