L'identità che viene presentata in questo appunto ha lo scopo di mostrare un'applicazione delle Formule di Viète, note anche come relazioni radici-coefficienti. Esse stabiliscono infatti una relazione tra i coefficienti di un polinomio
[math] P(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \dots + a_1x + a_0 [/math]
[math] P(x) [/math]
.Ad esempio, quando si hanno polinomi di terzo grado, dette
[math] a, b, c [/math]
le sue tre radici si ha:[math] a+b+c = -\frac{a_2}{a_3}, ab+bc+ca = \frac{a_1}{a_3}, abc = -\frac{a_0}{a_3} [/math]
Proprietà della somma dei cubi di tre numeri reali
Grazie a questo teorema molto facile da dimostrare si possono effettuare anche rapide scomposizioni di alcuni polinomi in tre variabili che vedremo successivamente. L’enunciato affermato è il seguente:
Se
[math](a, b, c)[/math]
sono tre numeri reali tali che [math]a+b+c=0[/math]
, allora la somma [math]a^3+b^3+c^3[/math]
sarà uguale a 3 volte il loro prodotto ([math]3abc[/math]
).Dimostriamo questa proprietà utilizzando le relazioni radici-coefficienti (conosciute inoltre come Formule di Viète, dove
[math]a, b, c[/math]
sono le radici di un polinomio monico (ossia con coefficiente di grado massimo uguale a 1) di terzo grado. Chiamiamo questo polinomio [math]P(x)[/math]
.Avremo
[math]P(x) = (x-a)(x-b)(x-c) = x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ac)x-abc[/math]
[math]P(a) = a^3-(a+b+c)a^2+(ab+bc+ac)a-abc = 0[/math]
[math]P(b) = b^3-(a+b+c)b^2+(ab+bc+ac)b-abc = 0[/math]
[math]P(c) = c^3-(a+b+c)c^2+(ab+bc+ac)c-abc = 0[/math]
[math]a^3+b^3+c^3-3abc[/math]
si ottiene:[math]a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)[/math]
Per la legge di annullamento del prodotto,
[math]a+b+c=0[/math]
implica [math]a^3+b^3+c^3-3abc=0[/math]
. Allora [math]a^3+b^3+c^3=3abc[/math]
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