Proporzioni e catene di rapporti uguali

Prendiamo in considerazione i rapporti 24 : 6 e 72 : 18; hanno valore uguale, poiché 24 : 6 = 4 e 72 : 18 = 4. Di conseguenza possiamo scrivere:

Le uguaglianze tra rapporti sono dette proporzioni.
Le proporzioni si leggono in un modo particolare; per spiegarlo prendiamo nuovamente in considerazione la proporzione 24 : 6 = 72 : 18. Essa si legge “24 sta a 6 come 72 sta a 18”.
I termini di una proporzione hanno diversi nomi.

Le proporzioni che hanno i medi uguali sono dette “continue”.
Nella proporzione continua 5 : 10 = 10 : 20:
-5 e 10 sono gli antecedenti;
-10 e 20 sono i conseguenti;
-5 e 20 sono gli estremi;
-10 è il medio proporzionale, ovvero il medio della proporzione continua;
-20 è il terzo proporzionale, ovvero l'ultimo termine della proporzione continua;
-5, 10 e 20 sono i termini della proporzione.

Abbiamo inoltre le catene di rapporti uguali, formate da tre o più rapporti dello stesso valore. Nella catena di rapporti 15 : 5 = 21 : 7 = 60 : 20:
-15, 21 e 60 sono gli antecedenti;
-5, 7 e 20 sono i conseguenti.

Le catene di rapporti hanno una loro proprietà del comporre, secondo cui in una catena di rapporti la somma degli antecendenti sta alla somma dei conseguenti come ciascun antecedente sta al proprio conseguente. Nel caso della catena di rapporti 15 : 5 = 21 : 7 = 60 : 20 si ottiene:
(15 + 21 + 60) : (5 + 7 + 20) = 15 : 5
96 : 32 = 15 : 5
(15 + 21 + 60) : (5 + 7 + 20) = 21 : 7
96 : 32 = 21 : 7
(15 + 21 + 60) : (5 + 7 + 20) = 60 : 20
96 : 32 = 60 : 20