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Polinomi di grado 2 - Esercizi

Esercizio 1
Sia
[math]p(x)[/math]
un polinomio a coefficienti reali tale che:
[math]p(25) = p(23) = 0[/math]
Qual è il valore di p(x) quando al posto della x si sostituisce 2018?
Svolgimento:
Sappiamo che
[math]p(25) = p(23) = 0[/math]
. Di conseguenza:
[math]p(x) = (x-23)(x-25)[/math]
Per trovare il valore di
[math]p(2018)[/math]
, ragioniamo in questo modo:
[math]p(2018) = (2018-23)(2018-25) = 3.976.035[/math]
Esercizio 2
Si consideri un polinomio di secondo grado
[math]p(x)[/math]
tale che:
    la somma delle radici di p(x) dia 25.
    la somma dei quadrati delle radici di p(x) sia uguale a 313.
Quanto vale p(30)?
Svolgimento:
Siano
[math]a_1, a_2[/math]
le radici (a volte chiamate anche "zeri del polinomio") di p(x).
Allora
[math]p(x) = (x-a_1)(x-a_2) = x^2-a_1x-a_2x+a_1a_2 = x^2-(a_1+a_2)x+a-1a_2[/math]
Di p(x) sappiamo che
[math]p(x) = x^2-25x+a_1a_2[/math]
Ora quanto vale
[math]a_1a_2[/math]
?
La cosa migliore da fare è elevare al quadrato la somma delle radici.
[math](a_1+a_2)^2 = a_1^2+a_2^2+2a_1a_2[/math]
[math]313+2a_1a_2 = 625[/math]
[math]2a_1a_2 = 312[/math]
da cui ne segue che
[math]a_1a_2 = 156[/math]
Allora
[math]p(x) = x^2-25x+156[/math]
[math]p(30) = 30^2-25*30+156 = 306[/math]
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