Numeri interi relativi: definizione e considerazioni

In questo appunto di matematica si parla dei numeri relativi.
Verrà data la definizione dei numeri relativi, ed in seguito verranno fatte delle considerazioni sul confronto tra i numeri relativi e sulle operazioni possibili con i numeri relativi.

Che cosa sono i numeri relativi? Definizione e insieme di appartenenza

I numeri relativi rappresentano tutti i numeri interi e non.
Essi sono dotati di segno, cioè possono essere positivi o negativi:

Oltre ai numeri interi possiamo considerare altre tipologie di numeri, come i numeri razionali (ad esempio le frazioni) e i numeri irrazionali (ad esempio le radici).
I numeri interi relativi fanno parte di un insieme, chiamato l’insieme dei numeri interi relativi.
Si indica con ed a questo insieme appartengono i numeri interi negativi, lo zero e i numeri interi positivi.
I numeri relativi possono essere rappresentati con una retta, dove al centro posizioniamo lo .
Lo non è un numero né positivo né negativo.
A destra dello troviamo i numeri interi relativi positivi, a sinistra dello invece troviamo i numeri interi relativi negativi.

Per ulteriori approfondimenti sui numeri relativi interi vedi anche qua

Operazioni principali che si possono fare con i numeri relativi

Con i numeri relativi possiamo eseguire le principali operazioni matematiche quali la somma, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione.

Per ulteriori approfondimenti sulle operazioni con i numeri relativi vedi anche qua

Regola del valore assoluto

Una proprietà molto importante dei numeri relativi è il valore assoluto , esso è definito da due linee rette verticali che racchiudono il numero.
Il valore assoluto di un numero è lo stesso numero ma senza segno; in altre parole tutti i numeri che vengono sottoposti al valore assoluto non sono né positivi né negativi .
Facciamo un esempio:

Regola dei segni

Una regola molto importante per svolgere esercizi, in particolare le operazioni di moltiplicazione e di divisione, sui numeri relativi è la regola dei segni .
Essa è abbastanza intuitiva.
Se abbiamo due numeri entrambi positivi, essi ci daranno un risultato positivo; anche due numeri entrambi negativi ci daranno un risultato positivo.
Banalmente “più per più fa più” o “meno per meno fa più”.
Ma, se moltiplichiamo due numeri con segno diverso, uno positivo e uno negativo, essi ci daranno un risultato negativo.
Banalmente, “più per meno fa meno”.
Quando due numeri hanno lo stesso segno si dicono concordi.
Quando due numeri hanno segno opposto si dicono discordi.

Ad esempio:
e sono concordi.
Anche e sono concordi.
Mentre, e sono discordi, proprio perché hanno un segno diverso tra di loro.

Per spiegare la regola dei segni abbiamo fatto riferimento all’operazione della moltiplicazione, ma tutto ciò che è stato detto vale anche per la divisione.
Quindi:
“più diviso più, fa più”.
“meno diviso meno, fa più”
“più diviso meno, fa meno”

Confronto tra numeri relativi: considerazioni

Confrontare due numeri interi relativi significa stabilire se sono uguali o se uno e maggiore dell'altro.
Per sapere se due numeri sono uguali basta verificare che abbiano lo stesso segno e lo stesso valore assoluto:

• Ogni numero positivo è maggiore di ogni numero negativo;


• Lo
  [math] 0 [/math]
  è maggiore di ogni numero negativo e minore di ogni numero positivo;


• Di due positivi è maggiore il numero che ha valore assoluto maggiore;


• Di due negativi è maggiore il numero che ha valore assoluto minore.

Considerazioni sull’addizione con i numeri relativi interi

La somma di due numeri interi relativi concordi è un numero intero relativo che ha lo stesso segno degli addendi e il valore assoluto uguale alla somma dei valori assoluti degli addendi.
La somma di due numeri interi relativi discordi è un numero intero relativo che ha il segno dell'addendo di valore assoluto maggiore e il valore assoluto pari alla differenza dei valori assoluti degli addendi.
La somma di due numeri relativi opposti vale sempre .
Alcune proprietà dell'addizione sono:

• L'addizione è un'operazione interna a
  [math] \mathbb{Z} [/math]
  (
  [math] \mathbb{Z} [/math]
  è chiuso rispetto all'addizione);


• Lo
  [math] 0 [/math]
  è l'elemento neutro dell'addizione;


• La proprietà commutativa : la somma di due o più addendi non cambia se si modifica l'ordine


• La proprietà associativa : la somma di due o più addendi non cambia se si sostituisce ad alcuni di essi la loro somma;


• La proprietà dissociativa: la somma di due o più addendi non cambia se ad uno di essi se ne sostituiscono altri, la cui somma è uguale all'addendo stesso.

Considerazioni sulla moltiplicazione e divisione con i numeri relativi interi

Le operazioni di moltiplicazione e di divisione seguono fedelmente la regola dei segni, già spiegata in precedenza.
Se i due numeri sono concordi si avrà segno positivo; se sono discordi, si avrà segno negativo.

Considerazioni sull’elevamento a potenza ed estrazione di radice con i numeri relativi interi

1. [math] (+2)^3 = (+2) \cdot (+2) \cdot (+2) = +8 [/math]
   sia il segno che il valore assoluto sono elevati a potenza;


2. [math] +2^3 =+ (2) \cdot (2) \cdot (2)= +8 [/math]
   solo il valore assoluto è elevato a potenza;


3. [math] (-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8 [/math]
   sia il segno che il valore assoluto sono elevati a potenza;


4. [math] -2^3=- (2) \cdot (2) \cdot (2)= -8 [/math]
   solo il valore assoluto è elevato a potenza;

Nei casi e se il segno da elevare a potenza e il positivo, il risultato avrà sempre segno segno positivo, se il segno è negativo si guarda all'esponente, se è pari il risultato avrà segno positivo, se è dispari il risultato avrà segno negativo.
Nei casi e si ricopia semplicemente il segno.
L'operazione inversa all'elevamento a potenza è l'estrazione di radice.
La radice di un numero negativo esiste solo se l'indice della radice è un numero dispari. La radice di
un numero positivo pari ha sempre due risultati opposti.
perchè
perchè sia sia elevati alla quarta danno come risultato .

Considerazioni sull’elevamento a potenza con esponente negativo con i numeri relativi

La potenza di un numero razionale relativo, diverso da , che ha per esponente un numero negativo, è una potenza che ha per base l'inverso (o reciproco) della base e come esponente lo stesso
esponente con segno positivo.


N.B.
Passando da numeri interi relativi a numeri razionali relativi (frazioni precedute da un segno), valgono ancora tutte le regole e le proprietà già applicate e che conosciamo.

Considerazioni sulle frazioni con i numeri relativi

Dove:

• [math] a [/math]
  è il numeratore, cioè quante parti prendo ;


• [math] b [/math]
  è il denominatore, cioè in quante parti divido l’intero.

Possiamo avere diverse tipologie di frazioni:

• Frazione propria: il numeratore è minore del denominatore;


• Frazione impropria: il numeratore è maggiore del denominatore;


• Frazione apparente: la frazione ha come risultato
  [math] 1 [/math]
  ;

Una proprietà molto importante per le frazioni è la proprietà invariantiva . riduzione a denominatore comune e successiva semplificazione.