Le medie

Le medie statistiche sono di due tipi: medie ferme, che si hanno quando si considerano tutti i termini della distribuzione, e medie lasche.

_stan
di _stan
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Le medie statistiche possono essere di due tipi: le medie ferme, che si hanno quando si considerano tutti i termini della distribuzione, e le medie lasche, che invece si hanno considerando solo alcuni dei valori ottenuti.

Indice

  1. Le medie ferme
  2. Potrebbero interessarti
  3. Esercizio (dal forum)

Le medie ferme

La media aritmetica

Consideriamo una distribuzione statistica i cui valori sono:

[math] x_1, x_2, \ldots, x_n [/math]

e presentano una frequenza assoluta pari a 1.

Si definisce, allora, la media aritmetica come il valore

[math]m[/math]
che, sostituito ad ogni valore della distribuzione, non ne altera la somma, cioè:

[math] x_1+x_2+\ldots+x_n = n \cdot m \rightarrow \frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n} = m [/math]

La media aritmetica, in questo caso, viene definita semplice, in quanto tutti i valori della distribuzione presentano una frequenza assoluta di 1.

Altrimenti, se i valori della distribuzione presentano frequenze diverse da 1, si può calcolare la media aritmetica tenendo conto delle diverse frequenze: indicando con

[math]f_1, f_2, ..., f_n[/math]
le frequenze relative agli
[math]n[/math]
valori, la definizione di media aritmetica diventa:

[math] m' = \frac{x_1 f_1 + x_2 f_2+\ldots+x_n f_n}{\sum f} [/math]

E il valore

[math]m'[/math]
calcolato prende il nome di media aritmetica ponderata.

Esempio

Consideriamo una distribuzione di valori come la seguente:

21 20 24 30 21 30 28 26 28 26
Calcoliamo la media aritmetica della distribuzione sommando tutti i termini e dividendo poi tale somma per 10:

[math] m = \frac{21+20+24+30+21+30+28+26+28+26}{10} = \frac{254}{10} = 25,4 [/math]

La media geometrica

Data una distribuzione di

[math]n[/math]
valori, ciascuno con frequenza uguale a 1, si definisce media geometrica semplice il valore
[math]m_g[/math]
che, sostituito ai termini della distribuzione, non ne altera il prodotto, cio:

[math] x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n = m_g^n \rightarrow \sqrt{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n} = m_g [/math]

Come visto precedentemente, nel caso in cui i valori abbiano frequenza diversa da 1, si può modificare la formula introducendo le frequenze relative a ciascun valore, e si ha:

[math]x_1^{f_1} \cdot x_2^{f_2} \cdot \ldots \cdot x_n^{f_n} = m_g^{\sum f} \rightarrow \sqrt[\sum f]{x_1^{f_1} \cdot x_2^{f_2} \cdot \ldots \cdot x_n^{f_n}} = m_g [/math]

In questo caso, il valore di media trovato prende il nome di media geometrica ponderata.

Esempio

Consideriamo la distribuzione dell'esempio precedente, e calcoliamone la media geometrica.

21 20 24 30 21 30 28 26 28 26
Notiamo che alcuni valori appaiono più volte; sarà quindi necessario calcolare le relative frequenza, e applicare la formula seconda.

[math] f_{21} = f_{30} = f_{28} = f_{26} = 2 [/math]

[math] f_{20} = f_{24} = 1 [/math]

Ora possiamo calcolare la media geometrica:

[math] m_g = \sqrt[10]{21^2 \cdot 30^2 \cdot 28^2 \cdot 26^2 \cdot 20 \cdot 24} = 25,14 [/math]

Media quadratica

Data una distribuzione di

[math]n[/math]
valori, ciascuno con frequenza uguale a 1, si definisce media quadratica semplice il valore
[math]m_q[/math]
che, sostituito ai termini della distribuzione, non ne altera la somma dei quadrati dei valori, cioè:

[math] x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 = n \cdot m_q^2 \rightarrow \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2} = m_q [/math]

Come in precedenza, nel caso in cui i valori abbiano frequenza diversa da 1, si modifica la formula introducendo le frequenze relative a ciascun valore, e si ha:

[math] x_1^2 f_1 + x_2^2 f_2 + \ldots + x_n^2 f_n = {m'}_2^2 \rightarrow [/math]

[math] \rightarrow \sqrt{\frac{x_1^2 f_1 + x_2^2 f_2 + \ldots + x_n^2 f_n}{\sum f}}=m_q^{'} [/math]

Il valore

[math]m'[/math]
così ottenuto prende il nome di media aritmetica ponderata.

Questo tipo di media molto utile nel caso in cui si voglia ottenere il valore medio di una distribuzione senza tenere conto del segno dei valori.

Esempio

Consideriamo la distribuzione degli esempi precedenti, e calcoliamone la media quadratica, tenendo conto, come prima, delle diverse frequenze dei valori:

[math] m_q = \sqrt{\frac{21^2+30^2 \cdot 2 +28^2 \cdot 2+26^2 \cdot 2+20^2+24^2}{10}} = 25,65[/math]

La media armonica

Data una distribuzione di

[math]n[/math]
valori, non nulli e ciascuno con frequenza uguale a 1, si definisce media armonica semplice il valore che, sostituito ai termini della distribuzione, non ne altera la somma dei reciproci, cioè:

[math] \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\ldots+\frac{1}{x_n} = n \cdot \frac{1}{m_a} \rightarrow \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\ldots+\frac{1}{x_n}}=m_a [/math]

Anche in questo caso, possiamo determinare la media armonica ponderata, che si ha quando le frequenze dei valori sono diverse da 1:

[math] \frac{f_1+f_2+\ldots+f_n}{\frac{f_1}{x_1}+\frac{f_2}{x_2}+\ldots \frac{f_n}{x_n}} = \frac{\sum f}{\sum \frac{f}{x}} = m_a^{'} [/math]

Esempio

Consideriamo la distribuzione degli esempi precedenti, e calcoliamone la media armonica, tenendo conto, come in precedenza, delle diverse frequenze dei valori:

[math] m_a = \frac{10}{\frac{2}{21}+\frac{2}{30}+\frac{2}{28}+\frac{2}{26}+\frac{1}{20}+\frac{1}{24}} = 24,88 [/math]

Possiamo notare, anche dagli esempi svolti, che, se i valori della distribuzione sono tutti positivi, tra le medie ferme sussiste la seguente relazione:

[math] m_a \le m_g \le m \le m_q [/math]

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Esercizio (dal forum)

Una societ di noleggio possiede diverse auto con diverso chilometraggio:

Km Numero di auto
0 - 30 8
30 - 50 10
50 - 70 12
70 - 80 5
80 - 90 3
90 - 100 2
Qual è il numero medio di km?
E quanti km ha il 50 per cento delle auto

(Puoi trovare uno spunto per la soluzione nel forum di Matematicamente.it)

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