In questo appunto di matematica si definiscono e descrivono i concetti di media quadratica semplice e media quadratica ponderata e si riportano alcuni esempi di calcolo.
Indice
Introduzione alla statistica
La Statistica è quella scienza che si avvale di metodi matematici per lo studio e l’analisi di fenomeni collettivi, ossia un insieme di metodi scientifici che hanno il fine di arrivare alla conoscenza quantitativa e qualitativa di fenomeni collettivi attraverso la raccolta, l’ordinamento, la sintesi e la finale analisi dei dati.Viene definito fenomeno collettivo quel fenomeno il cui studio richiede una massa di osservazioni sopra fenomeni individuali aventi tutti in comune una determinata caratteristica, la quale a sua volta viene definita variabile statistica o casuale.
Possono essere definiti fenomeni collettivi, ad esempio, l’altezza degli individui di una certa popolazione, l’incidenza di una data malattia sulla popolazione, ecc.
L’insieme degli elementi, oggetto della ricerca relativa ad un determinato fenomeno collettivo, prende il nome di universo statistico e l’indagine che si effettua su di esso, viene chiamata indagine statistica. Ogni indagine statistica procede attraverso le tre seguenti fasi:
- rilevazione dei dati;
- spoglio dei dati;
- elaborazione dei dati.
Spogliare i dati significa riordinarli e ripartirli in classi o gruppi a seconda delle intensità dei caratteri quantitativi o delle modalità dei caratteri qualitativi (ad esempio un carattere quantitativo potrebbe essere l’altezza di un dato abitante, mentre è un carattere qualitativo la sua professione).
I dati raccolti e riordinati possono venire rappresentati graficamente in un piano o mediante un diagramma cartesiano o mediante un istogramma.
Al fine di costruire il diagramma cartesiano riportiamo nel piano i punti aventi per ascissa il numero che è centro di ogni intervallo della classe e per ordinata la corrispondente frequenza (assoluta o percentuale) della classe stessa; congiungendo i punti successivi si ottiene il diagramma desiderato.
Per costruire l’istogramma del fenomeno si riportano sull’asse delle ascisse dei successivi segmenti adiacenti le cui lunghezze rappresentino le ampiezze delle rispettive classi. Assumendo tali segmenti come basi si costruiscono su di esse altrettanti rettangoli le cui aree siano proporzionali alle frequenze delle classi stesse.
Elaborare i dati vuol dire operare su di essi mediante opportuni algoritmi in modo da trarre delle informazioni utili al fine dell’interpretazione del fenomeno oggetto della nostra indagine statistica.
L’elaborazione può essere eseguita in diverse forme, attraverso le determinazione di valori statistici ben precisi, fra questi la media quadratica semplice e la media quadratica ponderata.
Media quadratica semplice
Siano dati n numeri,[math]
x_1, …, x_n,
[/math]
dicesi loro media quel numero che sostituito a ciascuno di essi lascia invariato il risultato di una data operazione eseguita sugli stessi numeri x_1, …, x_n,
[/math]
[math]
x_1, …, x_n
[/math]
.x_1, …, x_n
[/math]
Fra i tanti tipi di media eseguibili su un dato campione di numeri, si considera adesso la media quadratica semplice.
Chiameremo media quadratica semplice di n numeri,
[math]
x_1, …, x_n
[/math]
, quel numero x_1, …, x_n
[/math]
[math]
M_s
[/math]
che sostituito a ciascuno di essi lascia invariata la somma dei loro quadrati, ossia quel numero M_s
[/math]
[math]
M_s
[/math]
che soddisfa la seguente relazione:M_s
[/math]
[math]
(x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2 + … + (x_n)^2 = (M_s)^2 + (M_s)^2 + (M_s)^2 + … + (M_s)^2
[/math]
(n addendi)(x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2 + … + (x_n)^2 = (M_s)^2 + (M_s)^2 + (M_s)^2 + … + (M_s)^2
[/math]
ossia
[math]
(x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2 + … + (x_n)^2 = n \cdot (M_s)^2.
[/math]
(x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2 + … + (x_n)^2 = n \cdot (M_s)^2.
[/math]
o più sinteticamente
[math]
\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\ = \ M^{2}_s \cdot n.
[/math]
\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\ = \ M^{2}_s \cdot n.
[/math]
Dalla precedente espressione si può ricavare il valore della media quadratica semplice, dividendo entrambi i membri per n ed estraendo la radice quadrata:
[math]
\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\ = \ M^{2}_s \cdot n
[/math]
\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\ = \ M^{2}_s \cdot n
[/math]
da cui
[math]
\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}}{n}\ = \ M^{2}_s
[/math]
\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}}{n}\ = \ M^{2}_s
[/math]
quindi
[math]
M_s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}}{n}}\
[/math]
M_s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}}{n}}\
[/math]
Che fornisce l’espressione della media quadratica semplice.
Esempio di media quadratica semplice
Si considerino due cerchi aventi raggi rispettivamente[math]
R_1 = 24 cm
[/math]
R_1 = 24 cm
[/math]
[math]
R_2 = 18 cm.
[/math]
R_2 = 18 cm.
[/math]
Vogliamo calcolare il loro raggio medio, ossia il raggio
[math]
R
[/math]
che dovrebbero avere due cerchi uguali affinché la loro area complessiva sia uguale agli altri due di partenza.R
[/math]
Si deve avere:
[math]
\pi \cdot (R_1)^2 + \pi \cdot (R_2)^2 = \pi \cdot R^2 + \pi \cdot R^2.
[/math]
\pi \cdot (R_1)^2 + \pi \cdot (R_2)^2 = \pi \cdot R^2 + \pi \cdot R^2.
[/math]
Il raggio
[math]
R
[/math]
risulta essere la media quadratica di R
[/math]
[math]
R_1
[/math]
ed R_1
[/math]
[math]
R_2
[/math]
, ossia si ha che:R_2
[/math]
[math]
2 \pi \cdot R^2 = \pi \cdot (R_1)^2 + \pi \cdot (R_2)^2
[/math]
2 \pi \cdot R^2 = \pi \cdot (R_1)^2 + \pi \cdot (R_2)^2
[/math]
da cui dividendo entrambi i membri per \pi e ricavando R si ha che:
[math]
R = \sqrt{\frac{(R_1)^2 + (R_2)^2}{2}}
[/math]
R = \sqrt{\frac{(R_1)^2 + (R_2)^2}{2}}
[/math]
Quindi
[math]
R = \sqrt{\frac{(24)^2 + (18)^2}{2}} cm
[/math]
R = \sqrt{\frac{(24)^2 + (18)^2}{2}} cm
[/math]
da cui
[math]
R = \sqrt{\frac{576 + 324}{2}} cm
[/math]
R = \sqrt{\frac{576 + 324}{2}} cm
[/math]
per cui si ottiene
[math]
R = \sqrt{450} cm
[/math]
R = \sqrt{450} cm
[/math]
ed infine
[math]
R = 15 \sqrt{2} cm.
[/math]
R = 15 \sqrt{2} cm.
[/math]
Media quadratica ponderata
Siano dati n numeri,[math]
x_1, …, x_n
[/math]
, con i rispettivi pesi (o frequenze) x_1, …, x_n
[/math]
[math]
p_1, p_2, p_3, …, p_n
[/math]
, si dice loro media quadratica ponderata il numero p_1, p_2, p_3, …, p_n
[/math]
[math]
M_p
[/math]
che sostituito a tutti gli M_p
[/math]
[math]
x_i
[/math]
lascia invariato il valore della seguente espressione:x_i
[/math]
[math]
(x_1)^2 \cdot p_1 + (x_2)^2 \cdot p_2 + (x_3)^2 \cdot p_3 + … + (x_n)^2 \cdot p_n
[/math]
(x_1)^2 \cdot p_1 + (x_2)^2 \cdot p_2 + (x_3)^2 \cdot p_3 + … + (x_n)^2 \cdot p_n
[/math]
ossia
[math]
\sum_{i=1}^{n} p_i (M_p)^2 = (x_1)^2 \cdot p_1 + (x_2)^2 \cdot p_2 + (x_3)^2 \cdot p_3 + … + (x_n)^2 \cdot p_n
[/math]
\sum_{i=1}^{n} p_i (M_p)^2 = (x_1)^2 \cdot p_1 + (x_2)^2 \cdot p_2 + (x_3)^2 \cdot p_3 + … + (x_n)^2 \cdot p_n
[/math]
da cui si ha che
[math]
M_p = \ \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} \cdot p_{i}}{p}}
[/math]
M_p = \ \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} \cdot p_{i}}{p}}
[/math]
dove ovviamente
[math]
p = \sum_{i=1}^n p_i.
[/math]
p = \sum_{i=1}^n p_i.
[/math]
Esempio di media quadratica ponderata
Siano dati 12 quadrati dei quali 4 hanno lato[math]
l_1 = 9 cm
[/math]
, 3 hanno lato l_1 = 9 cm
[/math]
[math]
l_2 = 18 cm
[/math]
ed i restanti 5 quadrati hanno lato l_2 = 18 cm
[/math]
[math]
l_3 = 24 cm.
[/math]
Se volessimo 12 quadrati aventi tutti lo stesso lato (della stessa lunghezza), la cui area complessiva sia uguale a quella complessiva dei precedenti, quanto dovrebbe misurare il lato l_3 = 24 cm.
[/math]
[math]
l
[/math]
?l
[/math]
La misura cercata di
[math]
l
[/math]
è la media quadratica ponderata di l
[/math]
[math]
l_1
[/math]
, l_1
[/math]
[math]
l_2
[/math]
ed l_2
[/math]
[math]
l_3
[/math]
, i cui pesi (ossia le loro frequenze) sono rispettivamente:l_3
[/math]
[math]
p_1 = 4
[/math]
p_1 = 4
[/math]
[math]
p_2 = 3
[/math]
p_2 = 3
[/math]
[math]
p_3 = 5.
[/math]
p_3 = 5.
[/math]
Sostituendo i valori numerici nella formula riportata sopra:
[math]
M_p = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} \cdot p_{i}}{p}}
[/math]
M_p = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} \cdot p_{i}}{p}}
[/math]
[math]
p = \sum_{i=1}^n p_i
[/math]
p = \sum_{i=1}^n p_i
[/math]
[math]
p = 4 + 3 + 5
[/math]
p = 4 + 3 + 5
[/math]
[math]
p = 12
[/math]
p = 12
[/math]
si ottiene che
[math]
M_p = \sqrt{\frac{(9)^2 \cdot (4) + (18)^2 \cdot (3) + (24)^2 \cdot (5)}{4 + 3 + 5}} cm
[/math]
M_p = \sqrt{\frac{(9)^2 \cdot (4) + (18)^2 \cdot (3) + (24)^2 \cdot (5)}{4 + 3 + 5}} cm
[/math]
ossia
[math]
M_p = \sqrt{\frac{(81) \cdot (4) + (324) \cdot (3) + (576) \cdot (5)}{12}} cm
[/math]
M_p = \sqrt{\frac{(81) \cdot (4) + (324) \cdot (3) + (576) \cdot (5)}{12}} cm
[/math]
da cui
[math]
M_p = \sqrt{\frac{324 + 972 + 2880}{12}} cm
[/math]
M_p = \sqrt{\frac{324 + 972 + 2880}{12}} cm
[/math]
si ottiene
[math]
M_p = \sqrt{\frac{4176}{12}} cm
[/math]
M_p = \sqrt{\frac{4176}{12}} cm
[/math]
ed infine
[math]
M_p = \sqrt{348} cm
[/math]
M_p = \sqrt{348} cm
[/math]
[math]
M_p = 2 \sqrt{87} cm.
[/math]
M_p = 2 \sqrt{87} cm.
[/math]
[url= https://www.skuola.net/matematica/algebra/statistica-descrittiva.html]per ulteriori approfondimenti sulla statistica vedi anche qua[/url]
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