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l'istogramma in matematica


L'istogramma


In matematica, in fisica, in economia, e più in generale in qualsiasi ambito scientifico o tecnologico, non è raro far uso di grafici. Un grafico è una rappresentazione di dati numerici creata per rendere più semplice la comprensione di questi.

Infatti i grafici -differentemente da tabelle e diagrammi- hanno un impatto visivo più semplice ed immediato e permettono dunque di comprendere prima e meglio le caratteristiche di una certa "situazione", o, come spesso si suole dire, di un certo "scenario".

Queste rappresentazioni di dati -i grafici, appunto- possono essere di tanti tipi.
La scelta di utilizzare un certo tipo di grafico piuttosto che un altro è spesso legata unicamente alle preferenze del suo creatore. Altre volte, invece, è dettata dallo "scenario" e dai dati numerici a disposizione: per esempio, il cosiddetto "grafico a torta" si presta molto bene a rappresentare quegli scenari in cui i dati numerici a disposizione sono in forma di percentuale o di frazione, o più semplicemente sono "porzioni di un intero". Quando si vuole rappresentare una funzione (una retta, una parabola...) è preferibile invece utilizzare un "grafico a linea": le funzioni vengono infatti costruite per punti, e questo tipo di grafico permette molto meglio di altri di capire quali punti ne fanno parte e che tipo di andamento esso assume.

Tra le tante tipologie di grafico possibili, c'è poi il grafico a istogramma, spesso conosciuto anche con il nome di grafico a barre o in colonna, del quale in questo appunto si illustreranno dettagliatamente le caratteristiche. Il nome deriva dal fatto che la rappresentazione grafica dello scenario avviene servendosi di barre o colonne (verticali o orizzontali) colorate.

Figura 1 (in allegato)


Sebbene la realizzazione "a mano" di un grafico sia sempre possibile, i software attualmente in commercio rendono molto semplice la loro creazione e gestione. Ma indipendentemente dalla tecnica o dal software utilizzato, la realizzazione di un grafico è sempre un procedimento che avviene per "fasi". Nel presente appunto ripercorreremo una per una queste fasi focalizzando la nostra attenzione sulla tipologia a istogramma.

1) Realizzazione di una tabella di dati


Solitamente un grafico -che sia a istogramma oppure no- viene sempre realizzato facendo riferimento ad una tabella di dati numerici precedentemente compilata. Di conseguenza il primo passo è quello di realizzare una bella tabella di dati, contenente testo e numeri.

Precedentemente si è parlato di come i dati numerici a disposizione possano influenzare la scelta del tipo di grafico da utilizzare.
Anche se non esiste una regola generale, possiamo dire che il grafico ad istogramma viene utilizzato solitamente quando si vuole mostrare l'andamento dei valori numerici nel tempo (come accade ad esempio nei bilanci) o in relazione a certi precisi intervalli di grandezze (di tempo, di età... o di tutt'altro genere).

In questo appunto, immagineremo per esempio di voler rappresentare il bilancio di una famiglia in un anno, mostrando l'andamento delle entrate (guadagni) e delle uscite (spese) in funzione di precisi intervalli di tempo mensili.

Procediamo dunque con la compilazione della tabella di riferimento per il grafico. La tabella sarà composta in questo caso da tre colonne: nella prima posizioneremo i mesi dell'anno; nella seconda registreremo le entrare complessive di ogni mese; nella terza le uscite complessive di ogni mese.

Figura 2 (in allegato)

2) Realizzazione del grafico


Creata la tabella, è possibile procedere con la realizzazione del grafico.
Disegneremo dunque due assi ortogonali: uno orizzontale, l'altro verticale.

Solitamente i grafici ad istogramma hanno uno sviluppo verticale. Sarebbe a dire che sull'asse orizzontale vengono posizionati gli intervalli rispetto ai quali valutare la variazione della/e grandezza/e presa/e in considerazione, mentre i valori via via assunti dalla/e grandezza/e saranno leggibili sull'asse verticale.
Non sono comunque rare anche rappresentazioni con istogrammi a sviluppo orizzontale: in questo caso gli intervalli rispetto ai quali valutare la variazione della/e grandezza/e presa/e in considerazione vengono posizionati sull'asse verticale, mentre i valori via via assunti dalla/e grandezza/e sono leggibili sull'asse orizzontale.

Tuttavia nel presente appunto si è deciso di realizzare un grafico a istogramma con sviluppo verticale. Di conseguenza, dopo aver tracciato i due assi ortogonali, andremo a posizionare sull'asse orizzontale l'elenco progressivo dei mesi dell'anno rispetto ai quali si vuole valutare la variazione di entrate e uscite. Per far questo, divideremo l'asse orizzontale in piccoli settori/segmenti della stessa lunghezza: ognuno di essi accoglierà il nome di un mese.

Poichè sull'asse verticale andremo a leggere invece il valore assunto da entrate e uscite mese dopo mese, procediamo a dividere in segmenti uguali anche quest'asse. L'inizio e la fine di ogni segmento sarà indicato con una tacca. Alla prima tacca (quella più bassa) verrà attribuito il valore 0 euro, mentre le altre andranno ad assumere valori via via maggiori man mano che si procede dal basso verso l'alto. Trattandosi di un bilancio con cifre dell'ordine delle migliaia, possiamo attribuire a ognuno dei segmenti il valore di 1000 euro o, se vogliamo essere più accurati ancora, il valore di 500 euro.Questa operazione viene detta in matematica "attribuzione dell'unità di misura" sull'asse.

A questo punto possiamo procedere alla creazione delle barre, cominciando dalle entrate. All'interno dell'intervallo dedicato al mese di gennaio, disegneremo dunque un rettangolo (la barra, appunto), tale da avere l'altezza pari al valore delle entrate nel mese di gennaio (leggibile da tabella). Sarà l'asse verticale a dirci quale altezza corrisponde a questo valore: se ad esempio il valore delle entrate nel mese di gennaio è pari a 2000 euro, andremo a ricercare questo valore sull'asse verticale del diagramma. Tracceremo in corrispondenza di questo valore una linea parallela all'asse orizzontale: l'altezza della barra dovrà arrivare a toccare questa linea. Con lo stesso procedimento, si tracceranno le barre anche per i restanti mesi, finchè non avremo completato il grafico: grazie ad esso sarà possibile leggere quali sono stati i valori delle entrate nel corso dei vari mesi dell'anno.

Quello appena realizzato è un grafico "2D": le barre sono infatti costituite da rettangoli, e come tali essi hanno due sole dimensioni: altezza e larghezza. In alcuni casi i software per la creazione di grafici permettono anche la realizzazione di istogrammi "3D", nei quali le barre sono costituite da parallelepipedi di spessore a piacere. Altre volte ancora è possibile utilizzare pile o addirittura piramidi.

Con lo stesso procedimento che ci ha portato alla creazione del grafico delle entrate, realizzeremo anche il grafico delle uscite. Le barre del grafico delle uscite saranno affiancate a quelle del grafico delle entrate, e per distinguerli meglio verranno attribuiti colori differenti alle barre dei due grafici e posizionata una piccola legenda.

Figura 3 (in allegato)


Il grafico ad istogramma così realizzato permette immediatamente di capire qual è lo scenario descritto: in quali mesi ci sono state più o meno entrate, in quali mesi ci sono state più o meno uscite, qual è stato l'andamento delle une e delle altre nel corso dell'anno e in quali mesi le entrate sono state superiori, inferiori o pari alle uscite. I valori esatti di entrate ed uscite saranno poi leggibili sull'asse verticale tracciando idealmente una linea orizzontale all'altezza di ciascuna barra: il punto dove essa interseca l'asse verticale fornirà il valore cercato.

Ci sono anche casi in cui è possibile decidere non di affiancare i due grafici, ma piuttosto di rappresentarli uno sopra l'altro: "in pila", come si suol dire.

Figura 4 (in allegato)


In questo caso i valori delle entrate sono leggibili con la stessa tecnica utilizzata precedentemente. Quelli delle uscite, determinati tracciando idealmente dalla cima del rettangolo una linea orizzontale che interseca l'asse verticale, dovranno invece essere stimati sottraendo il valore delle entrate sottostanti. Se ad esempio le entrate nel mese di gennaio sono state 2000 euro, mentre la barra delle uscite relativa al mese di gennaio arriva ad un'altezza di 3000 euro, il valore delle uscite nel mese di gennaio sarà pari 3000 euro - 2000 euro = 1000 euro.

Questa rappresentazione in pila può venire scelta per molte ragioni. La principale è che permette meglio di quella a barre affiancate di capire -in un certo mese- quale dei due grafici ha registrato il valore/quantità maggiore.

Arricchimento del grafico


I grafici ad istogramma così ottenuti possono poi essere arricchiti di particolari che -oltre a renderli più dettagliati- ne rendono più semplice e chiara la lettura.

Per esempio è possibile posizionare un titolo generale del grafico, o delle piccole etichette per l'asse orizzontale e verticale, in modo che sia più semplice capire quali grandezze vi sono rappresentate.

Altre volte si può decidere di trascrivere sopra le barre il valore numerico che ad esse corrisponde, in modo da non dover compiere continuamente lo sforzo di ricercare i valori sull'asse verticale. In caso contrario, è possibile dotare lo sfondo del grafico di linee orizzontali e verticali equidistanti: la loro presenza creerà all'interno del grafico una griglia che ne renderà più facile la lettura dei dati sull'asse verticale.

4) Utilizzazioni più comuni del grafico a istogramma


Poichè il grafico a istogramma permette molto bene di capire quale sia la variazione/fluttuazione dei valori in relazione a precisi intervalli di grandezze, esso è molto utilizzato ad esempio in statistica o ingegneria. A questo proposto un esempio si rivelerà molto utile.

In ingegneria si è soliti eseguire molte prove di resistenza sui materiali da costruzione, al fine di testarne le caratteristiche e la qualità. I risultati delle prove sono poi utilizzati per costruire grafici ad istogramma, come quello riportato nella figura.

Figura 5 (in allegato)


Il grafico riportato mostra -qualitativamente- i risultati delle prove di resistenza eseguite su un certo materiale da costruzione. Sull'asse orizzontale sono riportati i valori di resistenza registrati nel corso delle prove, o, per essere più precisi, gli intervalli di resistenza registrati.
Sull'asse verticale è invece riportata la frequenza/probabilità di accadimento (PDF). Senza entrare in considerazioni di natura statistica, diremo semplicemente che questo parametro fornisce una stima di quante volte, nel corso delle prove, è stato mostrato da parte del materiale un certo intervallo di resistenza.

La lettura del grafico è a questo punto immediata: sull'asse verticale leggeremo infatti la probabilità/frequenza di accadimento dei vari intervalli di resistenza. Detto in altre parole, un certo intervallo di resistenza ha una certa frequenza di accadimento, la quale è leggibile sull'asse verticale del diagramma. Il grafico ci mostra dunque come si distribuiscono le resistenze in una struttura: grazie ad esso ci rendiamo subito conto che i valori medi di resistenza hanno la maggior frequenza di accadimento. Gli alti e i bassi hanno poca frequenza di accadimento. Senza entrare nel dettaglio della questione, concludiamo dicendo semplicemente che una distribuzione di valori siffatta si dice gaussiana.

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