Media Ponderata

Appunti di matematica per le scuole superiori sulla definizione di media analitica, media ponderata con analisi dei principali tipi di medie con annessi esempi applicativi.

Autorece8c0e
di Autorece8c0e
Genius
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Definizione

In statistica, con medie analitiche si intende dei numeri che soddisfano una condizione di invarianza e si calcolano tenendo conto di tutti i valori di una determinata distribuzione; nei casi in cui tali valori presentino delle frequenze diverse dall'unità o comunque abbiano dei pesi differenti si parla di medie ponderate, in caso contrario di medie (semplici).

Media aritmetica ponderata

Data una distribuzione di
[math]n[/math]
valori
[math]x_k[/math]
a cui sono associate rispettivamente delle frequenze (o pesi)
[math]w_k[/math]
si definisce media aritmetica ponderata quel numero che sostituito a tali valori lascia invariata la somma:
[math]\begin{aligned} \sum_{k = 1}^n x_k\,w_k = \sum_{k = 1}^n A_{ri}\,w_k\end{aligned} \; \; \; \Rightarrow \; \; \; A_{ri} = \frac{\begin{aligned}\sum_{k = 1}^n x_k\,w_k\end{aligned}}{\begin{aligned}\sum_{k = 1}^n w_k\end{aligned}} \; .\\[/math]

Esempio applicativo: uno studente al primo anno di Ingegneria ha riportato le seguenti valutazioni: 30 in Chimica (9 crediti), 21 in Disegno (9 crediti), 19 in Analisi Matematica (12 crediti), 27 in Economia (6 crediti), 20 in Fisica 1 (9 crediti), 24 in Geometria e Algebra Lineare (6 crediti), 28 in Informatica (6 crediti).

La media dei voti alla fine del primo anno risulta dunque essere pari ad:

[math]A_{ri} = \frac{30\cdot 9 + 21\cdot 9+19\cdot 12+27\cdot 6+20\cdot 9+24\cdot 6+28\cdot 6}{9+9+12+6+9+6+6} = 23.53[/math]

dove, in questo caso, i Crediti Formativi Universitari (CFU) corrispondono ai pesi (alle difficoltà intrinseche) degli esami considerati.

Media geometrica ponderata

Data una distribuzione di
[math]n[/math]
valori
[math]x_k[/math]
a cui sono associate rispettivamente delle frequenze (o pesi)
[math]w_k[/math]
si definisce media geometrica ponderata quel numero che sostituito a tali valori lascia invariato il prodotto:

[math]\begin{aligned} \prod_{k = 1}^n x_k^{w_k} = \prod_{k = 1}^n G^{w_i}\end{aligned} \; \; \; \Rightarrow \; \; \ G = \sqrt[\begin{aligned} \sum_{i = 1}^n w_i \end{aligned}]{\begin{aligned} \prod_{k = 1}^n x_k^{w_k} \end{aligned}} \; .\\[/math]

Esempio applicativo: un capitale è stato impiegato per 4 anni al tasso del 2%, per altri 3 anni al tasso del 3% ed infine per 2 anni al tasso del 5%. Il tasso medio applicato a tale capitale risulta dunque essere pari a:

[math]G = \sqrt[4 + 3 + 2]{(0.02)^4 \cdot (0.03)^3\cdot (0.05)^2} = 0.028 \; .[/math]

Media armonica ponderata

Data una distribuzione di
[math]n[/math]
valori
[math]x_k[/math]
a cui sono associate rispettivamente delle frequenze (o pesi)
[math]w_k[/math]
si definisce media armonica ponderata quel numero che sostituito a tali valori lascia invariata la somma dei loro reciproci:
[math]\begin{aligned} \sum_{k = 1}^n \frac{w_k}{x_k} = \sum_{k = 1}^n \frac{w_k}{A_{rm}}\end{aligned} \; \; \; \Rightarrow \; \; \ A_{rm} = \frac{\begin{aligned} \sum_{k = 1}^n w_k \end{aligned}}{\begin{aligned} \sum_{k = 1}^n \frac{w_k}{x_k} \end{aligned}} \; .\\[/math]

Esempio applicativo: un ciclista percorre un primo tratto lungo 2 km alla velocità media di 50 km/h, un secondo tratto lungo 10 km alla velocità media di 30 km/h e un terzo tratto lungo 15 km alla velocità media di 25 km/h. La velocità media sull'intero percorso risulta dunque essere pari ad:

[math]A_{rm} = \frac{2 + 10 + 15}{\frac{2}{50} + \frac{10}{30} + \frac{15}{25}} = 27.74\,\frac{\text{km}}{\text{h}} \; .[/math]

Media quadratica ponderata

Data una distribuzione di
[math]n[/math]
valori
[math]x_k[/math]
a cui sono associate rispettivamente delle frequenze (o pesi)
[math]w_k[/math]
si definisce media quadratica ponderata quel numero che sostituito a tali valori lascia invariata la somma dei loro quadrati:

[math]\begin{aligned} \sum_{k = 1}^n x_k^2\,w_k = \sum_{k = 1}^n Q^2\,w_k \end{aligned} \; \; \; \Rightarrow \; \; \ Q = \sqrt{\frac{\begin{aligned} \sum_{k = 1}^n x_k^2\,w_k \end{aligned}}{\begin{aligned} \sum_{k = 1}^n w_k \end{aligned}}} \; .\\[/math]

Esempio applicativo: dato un insieme di numeri in cui il 2 compare 3 volte, il 4 è presente una volta, l'8 è presente 2 volte e l'11 compare 4 volte, la media dei quadrati dei numeri presenti in tale insieme risulta essere pari a:

[math]Q^2 = \frac{2^2\cdot 3 + 4^2\cdot 1+8^2\cdot 2+11^2\cdot 4}{3 + 1 + 2 + 4} = 64 \; .\\[/math]
Nota tale media, ad esempio, sottraendo il quadrato delle media aritmetica ponderata di tale insieme di numeri è possibile calcolare la varianza ed estraendo la radice quadrata della varianza determinare lo scarto quadratico medio.

Osservazione

È facilmente dimostrabile che, a prescindere dai dati considerati, vale la seguente relazione:

[math]A_{rm} \le G \le A_{ri} \le Q\\[/math]
ove il segno uguale vale solo nel caso in cui i dati siano tutti uguali.

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