Calcolare
[math]\lim_{x \to +\infty} x[(1 + \frac{ln(10)}{x})^x - 10][/math]
Considerando che
[math]\lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{ln(10)}{x})^x = e^{ln(10)} = 10[/math]
si nota che il limite si presenta sotto la forma
[math]\infty \cdot 0[/math]
. Mettendo in evidenza un [math]10[/math]
, e ricordando le proprietà dei logaritmi, si ottiene
[math]\lim_{x \to +\infty} 10x (e^{ln[\frac{1}{10} (1 + \frac{ln(10)}{x})^x]} - 1) = \lim_{x \to +\infty} 10x \frac{e^{ln[\frac{1}{10} (1 + \frac{ln(10)}{x})^x]} - 1}{ln[\frac{1}{10} (1 + \frac{ln(10)}{x})^x]} ln[\frac{1}{10} (1 + \frac{ln(10)}{x})^x] =[/math]
[math] = \lim_{x \to +\infty} (10x \cdot ln[\frac{1}{10} (1 + \frac{ln(10)}{x})^x]) \frac{e^{ln[\frac{1}{10} (1 + \frac{ln(10)}{x})^x]} - 1}{ln[\frac{1}{10} (1 + \frac{ln(10)}{x})^x]} =[/math]
[math] = 10 \lim_{x \to +\infty} x (ln(\frac{1}{10}) + x ln(1 + \frac{ln(10)}{x})) \cdot \frac{e^{ln[\frac{1}{10} (1 + \frac{ln(10)}{x})^x]} - 1}{ln[\frac{1}{10} (1 + \frac{ln(10)}{x})^x]}[/math]
Ricordando il limite notevole
[math]\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1[/math]
si nota che
[math]\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{ln[\frac{1}{10} (1 + \frac{ln(10)}{x})^x]} - 1}{ln[\frac{1}{10} (1 + \frac{ln(10)}{x})^x]} = 1[/math]
Ora conviene calcolare
[math]\lim_{x \to +\infty} x(ln(\frac{1}{10}) + x ln(1 + \frac{ln(10)}{x}))[/math]
usando il teorema di de l'Hopital.
[math]\lim_{x \to +\infty} x(ln(\frac{1}{10}) + x ln(1 + \frac{ln(10)}{x})) = \lim_{x \to +\infty} \frac{ln(\frac{1}{10}) + x ln(1 + \frac{ln(10)}{x})}{\frac{1}{x}} =[/math]
[math] = \lim_{x \to +\infty} \frac{ln(1 + \frac{ln(10)}{x}) + x \cdot \frac{x}{x + ln(10)} \cdot (\frac{-ln(10)}{x})}{-\frac{1}{x^2}} =[/math]
[math] = \lim_{x \to +\infty} \frac{ln(1 + \frac{ln(10)}{x}) - \frac{ln(10)}{x + ln(10)}}{-\frac{1}{x^2}} =[/math]
[math] = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{x}{x + ln(10)} (-\frac{ln(10)}{x^2}) + \frac{ln(10)}{(x + ln(10))^2}}{\frac{2}{x^3}} =[/math]
[math] = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{-xln(10) - ln^2(10) + x ln(10)}{x(x + ln(10))^2}}{\frac{2}{x^3}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-ln^2(10)}{x^3 (1 + \frac{ln(10)}{x})^2} \cdot \frac{x^3}{2} = -\frac{ln^2(10)}{2}[/math]
Pertanto il limite proposto vale
[math]10 \lim_{x \to +\infty} x (ln(\frac{1}{10}) + x ln(1 + \frac{ln(10)}{x})) \cdot \frac{e^{ln[\frac{1}{10} (1 + \frac{ln(10)}{x})^x]} - 1}{ln[\frac{1}{10} (1 + \frac{ln(10)}{x})^x]} = 10 \cdot \frac{-ln^2(10)}{2} \cdot 1 = -5 ln^2(10)[/math]
FINE
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