Si risolva il seguente limite
[math]lim_(x o \pi/2)(\\cos2x+1) \cdot \\tanx[/math]
La forma è indeterminata, infatti notiamo che
[math](\\cos\pi+1)\\tan(\pi/2)=(-1+1) \cdot oo=0 \cdot oo[/math]
C'è da dire che non è molto corretto dire che
[math]\\tan(\pi/2)=oo[/math]
infatti la tangente non è definita per il valore di [math]\pi/2[/math]
, però il limite per x che tende a quel valore, dà effettivamente un infinito.
Cerchiamo di riscrivere la funzione in modo più conveniente.
[math](\\cos2x+1) \cdot tgx=(\\cos^2x-\\sin^2x+1) \cdot \\tanx[/math]
Ricordiamo che
[math]-\\sin^2x+1=\\cos^2x[/math]
perciò il terzo e il secondo addendo della parentesi possono essere trasformati
[math](\\cos^2x+\\cos^2x) \cdot \\tanx=2\\cos^2x \cdot \\tanx=2\\cos^2x \cdot \\sinx/\\cosx[/math]
Semplificando
[math]\\cosx[/math]
abbiamo
[math]2\\cosx\\sinx[/math]
ovvero
[math]\\sin2x[/math]
A questo punto possiamo procedere con la sostituzione
[math]lim_(x o \pi/2)(\\sin2x)=\\sin(2 \cdot \pi/2)=\\sin\pi=0[/math]
Il limite è zero.
FINE
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