Si calcoli il seguente limite
[math]lim_(x o \pi/2)(\\sin(x/2)-\\cos(x/2))/(1-\\sinx)[/math]
La forma è indeterminata, infatti sostituendo il valore di
[math]\pi/2[/math]
otteniamo
[math]f(\pi/4)=(\\sin(\pi/4)-\\cos(\pi/2))/(1-\\sin(\pi/2))=(\sqrt2/2-\sqrt2/2)/{1-1}=0/0[/math]
Per condurre la forma da indeterminata a determinata, occorre fare alcune modifiche.
Un'idea è quella di portare tutte le funzioni trigonometriche allo stesso argomento (arco)
[math]x/2[/math]
Sapendo che
[math]\\sinx=2\\sin(x/2)\\cos(x/2)[/math]
scriviamo
[math]lim_(x o \pi/2)(\\sin(x/2)-\\cos(x/2))/(1-2\\sin(x/2)\\cos(x/2))[/math]
Ora possiamo chiamare in soccorso l'identità fondamentale
[math]1=\\cos^2alpha+\\sin^2alpha[/math]
notando che c'è un [math]1[/math]
al denominatore. Proviamo a sostituire
[math]lim_(x o \pi/2)(\\sin(x/2)-\\cos(x/2))/(\\cos^2(x/2)+\\sin^2(x/2)-2\\sin(x/2)\\cos(x/2))[/math]
E' chiaramente visibile un quadrato binomio al denominatore
[math]lim_(x o \pi/2)(\\sin(x/2)-\\cos(x/2))/(\\sin(x/2)-\\cos(x/2))^2[/math]
Semplificando
[math]lim_(x o \pi/2)1/(\\sin(x/2)-\\cos(x/2)[/math]
A questo punto possiamo procedere con la sostituzione, tenendo conto che stiamo lavorando con
[math]x/2[/math]
e quindi sapendo che se
[math]x-> \pi/2[/math]
allora
[math]x/2->\pi/4[/math]
Sostituendo vediamo che il limite cercato corrisponde a
[math]oo[/math]
dal momento che il numeratore c'è un numero, mentre al denominatore c'è un valore che di assotiglia sempre più tendendo a zero.In particolare, abbiamo un
[math]+oo[/math]
se il valore tende a [math]\pi/2[/math]
da destra, dato che in questo caso il seno è sempre un po' più grande del coseno e la differenza
[math]\\sin(x/2)-\\cos(x/2)[/math]
è un numero piccolissimo, ma positivo.
Viceversa, se
[math]x[/math]
tende tende a [math]\pi/2[/math]
da sinistra, la differenza di sopra darà un valore piccolo è negativo, di fatto il rapporto genererebbe un [math]-oo[/math]
FINE
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