Si risolva il seguente limite
[math]lim_(x o \pi/2){[\\cos(x/2)-\\sin(x/2)] \cdot \\tanx}[/math]
La forma è chiaramente indeterminata.
Per valori di
[math]x[/math]
che tendono a [math]\pi/2[/math]
, il valore di [math]\\tanx[/math]
va all'infinito, mentre la parentesi tonda tende a [math]0[/math]
.Per verificarlo basta sostituire i valori.
Volendo trovare il limite, dobbiamo scriverlo di modo che non ci imbattiamo in una forma indeterminata.
Procediamo
[math][\\cos(x/2)-\\sin(x/2)] \cdot \\tanx=[\\cos(x/2)-\\sin(x/2)] \cdot \\sinx/\\cosx[/math]
Portando tutto ad argomento
[math]x/2[/math]
[math][\\cos(x/2)-\\sin(x/2)] \cdot \\sinx/\\cosx=[\\cos(x/2)-\\sin(x/2)] \cdot (2\\sin(x/2)\\cos(x/2))/(\\cos^2(x/2)-\\sin^2(x/2))=[/math]
[math]=[\\cos(x/2)-\\sin(x/2)] \cdot (2\\sin(x/2)\\cos(x/2))/((\\cos(x/2)-\\sin(x/2)) \cdot (\\sin(x/2)+\\cos(x/2))[/math]
Semplificando numeratore e denominatore otteniamo
[math](2\\sin(x/2)\\cos(x/2))/((\\sin(x/2)+\\cos(x/2))[/math]
A questo punto possiamo procedere con la sostituzione del valore
[math]\pi/2[/math]
, ottenendo
[math](2\\sin(\pi/4)\\cos(\pi/4))/(\\sin(\pi/4)+\\cos(\pi/4))=(2 \cdot 1/\sqrt2 \cdot 1/\sqrt2)/{1/\sqrt2+1/\sqrt2}=1/(2/\sqrt2)=\sqrt2/2[/math]
Il limite è dunque
[math]\sqrt2/2[/math]
![Esercizi sui limiti: [math]\lim_{{{x}\to\pi}}\frac{{ \cos{+} \cos{{2}}{x}}}{{\left({x}-\pi\right)}^{2}}[/math]](https://cdn.skuola.net/shared/thumb/159x141/news_foto/images/stories/esercizi/lim_e16.jpg)
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