Integrazione Numerica

ITIS “Primo Levi” Laboratorio di matematica

Mirano (VE) Classe 5

INTEGRAZIONE NUMERICA

Premessa

Se consideriamo una funzione f(x) continua in [a,b] e si conosce una sua primitiva F(x),

l’integrale definito di questa funzione, nei limiti da a a b, può essere calcolato con la formula:

b

∫ = −

f ( x ) dx F ( b ) F ( a )

a

dove F'(x) = f(x)

Spesso però succede che:

1. la primitiva di f(x) non può essere espressa con una funzione elementare;

2. la determinazione della primitiva di f(x) può essere particolarmente laboriosa;

3. la funzione integranda è una funzione empirica, cioè una funzione di cui non è nota una

espressione analitica ma si conoscono solo alcuni valori numerici ottenuti, per esempio, da

rilevazioni statistiche o esperimenti di laboratorio.

Ci occupiamo, quindi di trovare dei metodi di integrazione numerica e cioè delle formule di

quadratura.

Sappiamo che la determinazione dell’integrale definito:

b

∫ f ( x ) dx

a

equivale al calcolo dell’area del trapezoide APQB, in figura successiva, delimitato:

− superiormente dalla curva continua di equazione y= f(x);

− lateralmente dalle due rette parallele passanti per i punti a e b;

− inferiormente dall’asse x. Novembre 2007

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F

O R

M

U

L E D

E I R

E T T A

N

G O L I

Supponiamo che: ≥ ≤ ≤

f ( x

) 0 e a x b

Per avere un valore approssimato di questa area si può dividere l’intervallo [ ] in n intervalli

a,b

−

b a

=

uguali, di ampiezza mediante i punti x = a < x < x < x …….. < x = b

h 0 1 2 3 n

n

y Q

y

2

P y

n

y

1

y

0 h

A B

O a=x x x x x x =b x

0 1 2 3 n-1 n

e consideriamo i valori che assume agli estremi dei singoli intervalli parziali, cioè:

f(x)

y = f(x ) y = f(x ) y = f(x ) ……………………… Y = f(x ) y = f(x )

0 0 1 1 2 2 n-1 n-1 n n

Formiamo ora le seguenti somme: −

n 1

∑

y h + y h + y h + ……………… + y h = h y considerando l’estremo sinistro

i

0 1 2 n-1 =

i 0

n

∑

y h + y h + y h + ……………..… + y h = h y considerando l’estremo destro

i

1 2 3 n =

i 1

Sappiamo che: −

n 1 n b

∑ ∑ ∫

= = f ( x ) dx

lim h y lim h y

i i

→ ∞ → ∞

n n

= = a

i 0 i 1

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Possiamo quindi considerare come valore dell’integrale approssimato sia la prima che la seconda

somma cioè porre:

−

b b a

≅

∫ + + + +

f ( x ) dx ( y y y ......... y − Formule dei rettangoli

0 1 2 n 1

)

n

a Si sostituisce una funzione costante a

−

b b a

≅

∫ + + + + tratti (funzione di grado 0)

f ( x ) dx ( y y y ......... y

1 2 3 n )

n

a f(x)

Risulta evidente che, se è una funzione crescente come quella nella figura seguente:

y y

n

y

2

y

1

y

0

O a=x x x x x x =b x

0 1 2 3 n-1 n

la formula che considera gli estremi di sinistra rappresenta l’area del plurirettangolo che si trova

sotto la curva; invece la formula che considera gli estremi di destra rappresenta l’area del

plurirettangolo che contiene la curva.

L’errore commesso, calcolando l’integrale secondo le formule di rettangoli, è tanto più piccolo

−

b a

=

h

quanti più sono gli intervalli considerati, o meglio, quanto più gli intervalli parziali sono

n

piccoli. x

ESERCIZIO: creare un foglio di “calc”, che calcoli approssimativamente l’integrale della f(x)= al variare degli

h

estremi “a” e “b” e dell’ampiezza dell’intervallo. Confrontarlo con il valore vero.

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F

O R

M

U

L A D

E I T R

A

P

E Z

I (o di Bézout)

Il principio è quello di sostituire un trapezio, piuttosto che un rettangolo, per approssimare l’area del

trapezoide aABb in figura.

y B

A

1 A

n-1

A

2 In pratica, si sostituisce una

funzione lineare a tratti

y (una funzione di 1° grado al

n

y y y

1 2 n-1

A posto della curva)

y

0 h h h h h

O a=x x x x x =b x

0 1 2 n-1 n

È intuitivo che l’approssimazione dovrebbe essere migliore.

Dobbiamo, quindi, sommare tutte le aree dei trapezi rettangoli aventi come lati obliqui le corde:

AA , A A , A A , ………………… A A

1 1 2 2 3 n-1 n.

Le aree di questi trapezi sono, successivamente: +

+ +

+ y y

y y y y

y y −

2 3

1 2 n 1 n

0 1 h

h h

h …..…...

2

2 2

2

e quindi si ha l’eguaglianza approssimata:

+ + +

b  

y y y y y y

−

≅ 0 1 1 2 n 1 n

∫ + + +

 

f ( x ) dx h h ........ h

 

2 2 2

a

FORMULA DEI TRAPEZI:

da cui si ottiene la +

−

b  

y y

b a

≅ 0 n

∫ + + + + +

 

f ( x ) dx y y y ....... y −

1 2 3 n 1

 

n 2

a

Esercizio: esercizio precedente, utilizzando la formula dei trapezi e valutarne il risultato

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F

O R

M

U

L A D

E L L E P

A

R

A

B O L E ( o d

i C

a v

a l

i e r

i - S

i m

p

s o n

)

Prima di stabilire questa formula, dimostriamo il seguente: = + +

2

TEOREMA

. Un trapezio delimitato dalla parabola: y Ax Bx C

dall’asse x e da due rette parallele all’asse y e distanti 2h, ha l’area data da:

h

= + +

S ( y 4 y y )

0 1 2

3

dove y e y sono le ordinate estreme e y è l’ordinata della curva nel centro del segmento

0 2 1

Prendiamo gli assi coordinati come indicato nella seguente figura:

Supponendo conosciuti i coefficienti A, B, C, si calcola

I coefficienti della parabola l’area del trapezio parabolico per mezzo dell’integrale

= + +

2

y Ax Bx C si determinano definito:

sapendo che la parabola passa per i h

 

h 3 2

Ax Bx h

∫

= + + = + + = +

(-h); y , x (0); y , x (h); y ,

punti: x 2 2

S ( Ax Bx C ) dx Cx ( 2 Ah 6

C )

 

0 0 1 1 2 2  

3 2 3

− h

cioè risolvendo il sistema: -h

 

 

3 2 3 2 3

Ah Bh Ah Bh Ah

 

= + + − − + − = + =

 

Ch Ch 2 2

Ch

 

 

3 2 3 2 3

 

 

2

y =Ah -Bh+C

0 h h

y =C (moltiplico x 4 e sommo) ∫

= + + = +

1 2 2

S ( Ax Bx C ) dx ( 2 Ah 6

C )

3

2 −

y =Ah +Bh+C h

2 considerando l’uguaglianza che ne deriva dal sistema

Dal sistema risulta, come è facile vedere: 2

+4y +y =2Ah +6C

y

0 1 2

2

y +4y +y =2Ah +6C otteniamo la formula cercata :

0 1 2 h

= + +

S ( y 4 y y )

0 1 2

Novembre 2007 3

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Premesso ciò, volendo ora calcolare un valore approssimato dell’integrale della f(x) esteso

2n

all’intervallo [a, b]; si divida anzitutto [a, b] in un numero pari di parti eguali con i punti

<x <x <……<x =b; si considerino poi gli intervalli [x , x ], [x , x ], ……, [x , x ], che

a=x 0 1 2 2n 0 2 2 4 2n-2 2n

− − −

b a b a b a

= = =

hanno tutti la stessa lunghezza 2 e quindi

h h n

n 2 n 2 h

ed hanno, rispettivamente, come punti di mezzo: x , x , ……, x

1 3 2n-1

h

= + +

S ( y 4 y y ) agli intervalli [a(x ), x ], [x , x ], …..,

Applicando allora la formula 0 2 2 4

0 1 2

3

[x , b(x )] si hanno, successivamente, le seguenti eguaglianze approssimate:

2n-2 2n

x 2 ( )

h

≅

∫ + +

f ( x ) dx y 4 y y

0 1 2

3

a

x 4 ( )

h

∫ ≅ + +

f ( x ) dx y 4 y y

3 4

2

3

x 2

.

.

. ≅

b ( )

h

∫ + +

f ( x ) dx y 4 y y

− −

2 n 2 2 n 1 2 n

3

x −

2 n 2

…………………………………………………………………….

b ( )

h

≅

∫ + + + + + + +

f ( x ) dx y 4 y 2 y 4 y ......... 2 y 4 y y

− −

0 1 2 3 n 2 2 n 1 2 n

3

a −

b a

=

h

cioè abbiamo la formula finale: (ricordiamo che: 2 n

−

b ( )

b a

∫ + + + + + + + + +

≅

f ( x ) dx y y 2 ( y y ......... y ) 4 ( y y ...... y )

− −

0 2 n 2 4 n 2 1 2 n 1

3

6 n

a FORMULA DI CAVALIERI - SIMPSON

detta Novembre 2007