Il binomio di Newton

Al Prof. Pierangelo Leone

Il binomio di Newton

Alessio Catucci

n, per i primi n abbastanza piccoli e chiaramente per n ≥ 0, non è difficile risolverlo;

Il binomio (a+b)

ma anche se l’esponente inizia a crescere notevolmente, il Triangolo di Tartaglia è di ausilio per il calcolo di questo.

Esso è una disposizione di numeri in forma triangolare, ottenuta espandendo le potenze successive di (a+b), cioè (a+b)¹, (a+b)², e così via, e disponendo in righe successive i coefficienti numerici.

n⁰

1   0   (a+b)⁰ = 1

1

1   1   1   (a+b)¹ = a+b

2   2   2

1   2   1   (a+b)² = a² + 2ab + b²

3   3   2   2   3

1   3   3   1   (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

4   4   3   2   2   3   3

1   4   6   4   1   (a+b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

……………………………… ………………………………… …………………………………

n

Triangolo di Tartaglia e espansione di (a+b)ⁿ

Il cosiddetto Triangolo di Tartaglia è costituito da infinite righe e da due soli lati. Le righe sono numerate (n = 0, 1, 2, ...) dall’alto verso il basso; la prima contiene due 1, ossia i coefficienti del binomio di primo grado.

Ogni elemento delle righe successive si ottiene sommando quello corrispondente della riga precedente con il suo adiacente sulla stessa riga. Ogni sequenza termina con un 1; sull’ n-esima riga si trovano i coefficienti dell’espansione di (a+b)ⁿ, detti coefficienti binomiali e ricavanti dallo sviluppo del fattore binomiale si indica con la seguente simbologia:

 

n   n!

  =

  (n − k)! k!

 

(si legge "n su k"). Qui n! ("n fattoriale") indica il prodotto n × (n - 1) × (n - 2) × ... × 2 × 1 per n ≥ 1.

Ad esempio, il coefficiente di a²b² in (a+b)⁴ è

       ×  ×  ×  ×

n   4   4!

      = = ⇒ = = =

      (n − k)! k!   (4 − 2)! 2!

, per n = 4 e k = 2   6

     

×  ×  ×  ×

k   2   2!

!   2   2 × 1   2 × 1

Ogni elemento del Triangolo di Tartaglia, a parte la serie degli 1 lungo i lati, è la somma dei due elementi della riga precedente alla sua destra e alla sua sinistra. In base a questa proprietà è possibile costruire ogni riga del triangolo.

Il triangolo presenta diverse altre proprietà e relazioni numeriche. In particolare, la somma degli elementi della riga di ordine n è 2ⁿ.