Il binomio di Newton

al Prof. Pierangelo LEONE

I B N

L INOMIO DI EWTON

Alessio Catucci

n

, per i primi n abbastanza piccoli e chiaramente per n ≥ 0 , non è difficile risolverlo;

Il binomio (a+b)

ma anche se l’esponente inizia a crescere notevolmente, il Triangolo di Tartaglia è di ausilio per il

calcolo di questo.

Esso è una disposizione di numeri in forma triangolare, ottenuta espandendo le potenze

1 2

successive di (a+b), cioè (a+b) , (a+b) , e così via, e disponendo in righe successive i coefficienti

numerici. n 0

1 0 (a+b) = 1

1

1 1 1 (a+b) = a+b

2 2 2

1 2 1 2 (a+b) = a +2ab +b

3 3 2 2 3

1 3 3 1 3 (a+b) = a +3a b+3a b+b

4 4 3 2 2 3 3

1 4 6 4 1 4 (a+b) = a +4a b+6a b +4ab + b

………………………………… ………………………………… …………………………………

n

Triangolo di Tartaglia Espansione di (a+b)

Il cosiddetto Triangolo di Tartaglia è costituito da infinite righe e da due soli lati. Le righe sono

numerate (n= 0,1,2,...) dall'alto verso il basso; la prima contiene due 1, ossia i coefficienti del

binomio di primo grado. Ogni elemento delle righe successive si ottiene sommando quello

corrispondente della riga precedente con il suo adiacente sulla stessa riga. Ogni sequenza termina

n

con un 1; sull' n-esima riga si trovano i coefficienti dell'espansione di (a+b) , detti coefficienti

binomiali e ricavanti dallo sviluppo del fattore binomiale si indica con la seguente simbologia:

 

n n

!

  =

  ( )

−

k k ! n k !

 

(si legge "n su k"). Qui n! ("n fattoriale") indica il prodotto n × (n -1) × (n -2) × ... × 2 × 1 per n ≥ 1.

2 2 4

Ad esempio, il coefficiente di a b in (a+b) è

    × × ×

n 4 4

! 4 3 2 1

   

= = ⇒ = = =

, per n 4 e k 2 6

    ( ) ( )

× × × ×

k 2 2

! 2

! 2 1 2 1

   

Ogni elemento del Triangolo di Tartaglia, a parte la serie degli 1 lungo i lati, è la somma dei due

elementi della riga precedente alla sua destra e alla sua sinistra. In base a questa proprietà è

possibile costruire ogni riga del triangolo.

Il triangolo presenta diverse altre proprietà e relazioni numeriche. In particolare, la somma degli

n 4

elementi della riga di ordine n è 2 . Ad esempio, la somma degli elementi della riga di ordine 4 è 2

= 16 (si noti inoltre come lo sviluppo in serie delle potenze di 2 dia appunto la Serie Aritmetica,

cioè 1,2,4,8,16,32,… ogni numero è il doppio del precedente) . Inoltre, sostituendo ogni elemento

pari del triangolo con uno 0 e ogni elemento dispari con un 1, si noti cosa accade al triangolo!

n

Se invece l’esponente n= 75? Sarebbe poco immediato risolvere il binomio (a+b) col Triangolo di

Tartaglia perché richiederebbe molto tempo di calcolo. Allora in questo caso si applica una formula

ancora più immediata che ci permette di controllare qualunque binomio di qualsiasi esponente

reale, il Binomio di Newton: