Identità ed equazioni con coefficienti binomiali

Identità con coefficienti binomiali

Definizione 1: Identità con coefficienti binomiali

Un'equazione nella quale figurino coefficienti binomiali con incognite e che debba essere verificata per ogni possibile valore di queste ultime detta identit con coefficienti binomiali.

Osservazione 1: Ad esempio, la proprietà

dei coefficienti binomiali è un'identità del tipo appena definito; in essa figurano infatti dei coefficienti binomiali e due incognite, ed è vera per ogni possibile valore di queste ultime. In tal caso, l'identità verificata ogni qual volta valga . Naturalmente, anche tutte le altre proprietà studiate dei coefficienti binomiali sono identità come da definizione 1.

Verificare un'identità con coefficienti binomiali: La tipica richiesta che ci viene fatta nel caso di identità con coefficienti binomiali è quella di trovare gli eventuali valori delle incognite per cui essa risulta verificata; ad esempio, l'identità vista nell'osservazione 1 non è verificata se

. È possibile arrivare al risultato seguendo questi passi:

1. Porre prima di tutto le condizioni di esistenza: il valore inferiore di ogni coefficiente binomiale va posto sempre non negativo e minore o uguale del valore superiore dello stesso coefficiente;
2. Intersecare, per quanto possibile, le condizioni di esistenza, cos da ottenere le disequazioni che le incognite devono verificare. Già a questo passo se risulta che una delle incognite non può avere alcun valore possiamo concludere che lidentit non verificata;
3. Esplicitare ogni coefficiente binomiale con la formula fattoriale;
4. Adoperare ripetutamente la proprietà
   [math] \displaystyle (n+1)! = n!(n+1)[/math]
   allo scopo di ottenere la messa in evidenza di tutti i fattoriali presenti;
5. Semplificare i fattoriali, facendo in modo che tutto ciò che resta sia una semplice equazione algebrica;
6. Mostrare che detta equazione è verificata per tutti i valori possibili delle incognite.

Osservazione 2: All'occorrenza, alcune altre proprietà studiate per i coefficienti binomiali possono essere preventivamente adoperate tra i passi 2 e 3 dell'algoritmo precedente, con lo scopo di facilitare i calcoli.

Esempio 1: Verificare la seguente identità:

Seguiamo passo passo il metodo delineato nel corso del paragrafo precedente:

1. Condizioni di esistenza:
   [math]n \ge k \ge 0 \mbox{; } n-1 \ge k-1 \ge 0[/math]
2. Dalla prima condizione ricaviamo
   [math] \displaystyle n \ge k \mbox{, } k \ge 0[/math]
   , mentre dalla seconda possiamo ottenere
   [math] \displaystyle n \ge k, k \ge 1[/math]
   . Intersecando tali disequazioni scopriamo che le incognite devono verificare le seguenti prescrizioni:
   [math] \displaystyle n \ge k, k \ge 1 [/math]
3. Esplicitiamo tramite fattoriali tutti i coefficienti binomiali presenti nell'identità:
   [math] \displaystyle k \color{red}{\frac{n!}{k!(n-k)!}} - n \color{red}{\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}} = 0 [/math]

4. Adoperiamo la formula per mettere in evidenza i fattoriali presenti; tipicamente si scelgono i fattoriali pi piccoli del denominatore e del numeratore.
   [math] \displaystyle k \frac{\color{red}{(n-1)!n}}{\color{red}{(k-1)!}k(n-k)!} - n \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} = 0 [/math]

   Si osservi che l'ultimo passaggio non sarebbe lecito qualora una delle due incognite fosse 0, perché ci darebbe luogo a fattoriali di numeri negativi, che non abbiamo definito in alcun modo. Fortunatamente, le condizioni che abbiamo discusso precedentemente assicurano la stretta positività di ambo le incognite.

5. Semplificando la
   [math] \displaystyle k[/math]
   che compare nel primo addendo (fatto questo lecito poiché si sa che
   [math] \displaystyle k \ne 0[/math]
   ) e osservando l'equazione, si scopre subito che essa uguale a 0. L'identità è perciò verificata
   [math] \displaystyle \forall k \ge 1, \forall n \ge k[/math]
   .

Equazioni con coefficienti binomiali

Definizione 2: Equazioni con coefficienti binomiali

un'equazione nella quale figurino dei coefficienti binomiali ed un'incognita x è detta una equazione con coefficienti binomiali.

Risolvere un'equazione con coefficienti binomiali

La risoluzione di un'equazione nella quale compaiano coefficienti binomiali è formalmente identica alla verifica di un'omonima identità per tutti e cinque i primi passaggi. La differenza sorge allorché, giunti infine ad una equazione algebrica, in essa figura la sola incognita

; ciò che occorre fare in questo momento è tentare la risoluzione dell'equazione per . Tale procedimento può dar luogo a nessuna, una o più soluzioni, o ancora infinite soluzioni.

Esempio di equazione con coefficienti binomiali

Risolvere la seguente equazione:

.

In primo luogo ricaviamo le condizioni desistenza: osservando i tre coefficienti binomiali possiamo dire

Ciò ci consente di concludere che un'eventuale risoluzione dell'equazione, per poter essere considerata accettabile, deve essere maggiore o uguale a 2. Passiamo adesso a riscrivere l'equazione usando i fattoriali:

Passiamo tutti gli addendi al primo membro, calcoliamo i fattoriali puramente numerici e mettiamo in evidenza quanto possibile:

Procediamo come al solito, scomponendo i fattoriali più grandi con la formula nota:

Siamo così giunti all'equazione algebrica

, che diviene . Dal momento che la quantità al primo membro risulta sempre essere strettamente positiva, concludiamo che l'equazione data non ha alcuna soluzione o, il che lo stesso, è impossibile.

Altro materiale di supporto

Videolezione sui coefficienti binomiali