Dalle funzioni alle derivate: riassunto preciso

Matematica

-​Funzione reale di variabile reale⇢ dati due sottoinsiemi A e B (non vuoti) di R , una funzione f da A a B è una relazione che associa a d un num reale di A uno e un solo num reale di B, relazione tra la variante x (indipendente) e la variante y (dipendente)
-y=f (x) (forma esplicita)
-f(x,y)= 0 (forma implicita)
-si puo disegnare il grafico, si possono det le intersezioni con gli assi -​dominio naturale della funzione​→ è l’insieme più ampio dei valori reali che si possono assegnare alla variabile indipendente x affinché esista il corrispondente valore reale y, si indica con D
-codominio→ è il sottoinsieme di R costituito dalle immagini degli elementi del dominio
-si dividono in
● algebriche(esprimibiliattraversoun’espressionealgebrica) ⇢razionali e irrazionali
● trascendenti⇢logaritmiche,esponenziali,goniometriche -Tipologie di funzioni
● Iniettiva⇢adogniycorrispondeunax
● suriettiva⇢adunaycorrispondealmenounx
● biettiva⇢iniettiva+suriettiva⇢ad1xcorrisponde1y
-caratteristiche:
- Pari ⇢ f(-x)=f(x) ⇢ simmetrica rispetto ad asse y
- dispari⇢ f(-x)= - f (x)⇢ simmetrica rispetto all’origine
-Zeri di una funzione⇢ sono i punti in cui la funzione taglia asse x⇢ per trovarli ⇢ f(x)= 0
- Dati x1 ; x2 la funzione si dice crescente se ∀x1 < x2 e se contemporaneamente f(x1)<f (x2)
-dati x1, x2 la funzione si dice decrescente se ∀x1 < x2 f(x1)>f (x2) -Monotòna ⇢ è la funzione che cresce sempre o decresce sempre,se in un det intervallo la funzione è solo crescente o è solo decrescente allora è monotòna in senso stretto
- continua o discontinua
Tipologie di funzione
-Esponenziale⇢ y=aX
● dominio=x∈R
● codominio=a>0,a∈R+
● a>1⇢valoricrescenti
● 0<a<1⇢decrescenti
● a=1⇢monotòna
● passasempreperilpunto0;1 ● assexasintoto
-Logaritmica​⇢ funzione inversa di esponenziale ● dominio=R+
● codominio=R
● intersecaassexinpunto(1;0)
● nonintersecaassey⇢asintoto
● a>1⇢crescente
● 0<a<1 ⇢ decrescente
Goniometria
- funzione seno ⇢y=sin α
- funzione coseno⇢ y=cos α
- entrambe⇢ D=R, Cod= -1 ≤ y ≤ 1
I limiti
● inmatematicailconcettodilimiteserveadescriverel’andamento di una funzione all’avvicinarsi del suo argomento ad un altro valore
● Intervallo⇢sottoinsiemedinumerirealichecorrispondea
● semirettaseILLIMITATO,segmentoseLIMITATO
● puòesserechiusooapertoasecondachegliestremi
appartengano o no all’intervallo
Intorno di un punto⇢ dato un numero reale x0 , un intorno completo di x0 è un qualunque intervallo aperto I(x0) contenente x0 con
δ1, δ2 ⇢ numeri reali positivi
- Ix0= ]x0 - δ1; x0 + δ2[ , δ1, δ2 num reali positivi
- limite finito per lim , la funzione f(x) ha per limite il numero reale l x→x0
quando comunque si scelga un numero reale positivo ε si puo det
un intorno completo l di x0 tale che
- |f(x)-L|<ε
- limf(x)=lse⇢∀ε>0∃Ix0:|f(x)−l| <ε∀x∈Ix0 −[x0] x→x0

- Punto di accumulazione⇢ è un punto intorno al quale esistono degli elementi dell’insieme che sto trattando
- Funzione continua​⇢ siano f(x) una funzione definita in un
intervallo [a,b] e x0 un punto interno all’intervallo, la funzione è
continua nel punto x0 quando esiste il limite di f(x) per lim e tale x→x0
limite è uguale di f(x0) della funzione calcolata in x0 lim f(x) = f(x0)
x→x0
lim f(x)=f(x0)∀x0∈[a,b]
x→x0
- NB diciamo che f è continua nel dominio quando risulta continua in
tutti i punti di D
- una funzione f(x) non è continua in x0 se lim f(x) =/ f (x0) , diciamo
x→x0
che x0 è un punto di discontinuità
punti di discontinuità→ sono i punti in cui una funzione non è continua
1. specie→ limite destro e sinistro per x→ x0 esistono finiti, ma sono diversi tra loro (funzione presenta un salto finito nel punto di ascissa x0)
2. specie→ almeno 1 dei due limiti per x→ x0 è infinito (positivo o negativo)
3. specie o eliminabile → esistono uguali e finiti i limiti dx e sx
perx→x0,mafnonèdefinitainx0oseloèrisultaf(x0)=/ l
-asintoto → è una retta detta asintoto del grafico di f quando la distanza di un generico punto del grafico da tale retta tende a 0
quando l’ascissa o l’ordinata del punto tendono a ∞ retta si avvicina a f senza toccarla
● verticali → lim f(x) = ± ∞ x→x0
● orizzontali→ lim f(x) =n x→±∞
quando una
● obliqui→sef(x)=±∞,
●→ lim→f(x)/x=m+ lim→[f(x)-mx]=q
x→±∞ x→±∞ ● → y=mx+q
- 3 teoremi di funzione continua
1. teorema di Weierstrass→ se f è continua in int limitato e chiuso [a,b] assume in tale intervallo 2 valori

particolari che sono il massimo assoluto e il minimo
assoluto
2. th dei valori intermedi → se f è continua in [a,b] essa
assume almeno 1 volta tutti i valori compresi tra il max.
e il min.
3. th esistenza degli zeri→ se f continua in [a,b] e negli
estremi di tale intervallo assume valori di segno opposto allora esiste almeno un punto c , interno a intervallo, allora ∃c ∈ [a, b] : f (c) in cui f si annulla ossia f(c)=0
-Derivate
● rapporto incrementale→ data una funziona y=f(x) definita in un
intervallo[a,b]eduenumerirealicec+h(conh=/0 )internia
intervallo il rapporto incrementale di f nel punto c è il numero Δy = f(c+h)−f(c)
Δx h
rapporto incr. ci dice di quanto aumenta y rispetto a x
● derivata di una funzione→ data una funzione y=f(x) definita in
[a,b] la derivata della funzione nel punto c interno a intervallo, che
indichiamo con f’(C) è il limite ( se esiste e finito) di h che tende a 0
, del rapporto incrementale di f relativo a c f’(c)= lim f(c+h)−f(c)
x→x0 h
● laderivatadiunafunzioneinunpuntocrappresentailcoefficiente
angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto di
ascissa c
● funzionederivabileincseesistederivataf’(c)eseesistonofinitee
uguali tra loro la derivata dx e sx
● derivataasxedx
-teoremi del calcolo differenziale
-1Th di Rolle→
● Hp → f(x) è continua in [a,b]
● f(x)èderivabilein]a,b[
● f(a)=f(b)
● Tesi→ ∃almeno un punto c ∈]a,b[ tale che f′(c) = 0
● esistonopuntistazionari,larettatgèorizzontale

-2 Th di Lagrange→
● hp → f(x) è continua in [a,b]
● derivabilein]a,b[
● Tesi→ esiste almeno un punto c ∈]a,b[ tale che f(b)−f(a) = f​’(c)
b−a
● conseguenze→deveesistereunpuntoctalechelarettapassante
per c sia parallela alla secante
● interpretazione→ esiste c tale che la retta tg in c nel grafico è
parallela alla retta passante per a e b
-3 Th ●
● ● ● ●
di Cauchy→
th → f(x) e g (x) continue in [a,b]
//derivabiliin]a,b[
g’(x) =/ 0 ∀x ∈]a, b[ tesi → f(b)−f(a) = f′(c)
g(b)−g(a) g′(c)
interpretazione→ raporto tra glo incrementi delle funzioni f e g è uguale al rapporto tra le rispettive derivate calcolate in un punto c interno a intervallo
-4Th di de l’hospital→ f(x) e g (x) e dato un intorno Ix0
● hp→ fegcontinueinx0
● f(x0)=g(x0)=0
● fegderivabiliinx0
● g’(x)=/0inIxo
● Tesi→ se esiste lim f′(x) allora esiste lim f(x) = lim f′(x) x→x0 g′(x) x→x0 g(x) x→x0 g′(x)
● significato → serve per risolvere limiti che si presentano come fi 0 O ∞