Dalla sezione aurea alle piramidi di giza, dalle s

Dalla Sezione Aurea alle Piramidi di Giza, dalle stelle al Sistema Solare: tra arte, matematica ed esoterismo

Fabiana Lanzetta

Liceo classico “Pitagora”

Maturità 2007/08

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E per orientarsi…

Ambito artistico-scientifico

Introduzione ai temi trattati

• La “magica” Sezione Aurea… tra Pitagora e l’Egitto dei Faraoni
• Sezione: qualcosa sul seno
• Cosa c’entrano le Piramidi?
• Ma il legame fra le piramidi e le stelle?!
• L’ipotesi più o meno fantasiosa di Bauval

Gli egizi, quindi non erano dotati di conoscenze astronomiche?

• Dalle stelle imperiture, al moto apparente dei corpi celesti fino al modello della nascita delle stelle…
• Ma come nascono appunto le stelle?
• Il modello dell’evoluzione stellare
• Infine qualche cenno sul calore..
• Bibliografia

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Introduzione ai temi trattati

Come appassionata di antichi misteri, Piramidi e stelle non potevo sottrarmi dal trattare di simili argomenti: dalla Sezione Aurea, al suo legame con l’arte, dalla Grande Piramide di Cheope fino alle stelle, dalla loro nascita alla loro evoluzione.

Spero di essere stata quanto più rigorosa possibile ed al contempo di aver dimostrato in parte come la scienza dovrebbe continuamente interrogarsi su quelli che restano ancora indubbiamente dei piccoli misteri, dimostrando, magari, una maggiore apertura e affermando ancora una volta il suo perenne mettersi in gioco e mettere in dubbio le conoscenze finora raggiunte.

Cos’è d’altronde una verità scientifica? “La finalità della scienza è dubitare dei suoi risultati” diceva Morandotti non uno scienziato, ma un famoso storico italiano…. Sarà forse per questo?

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La “magica” Sezione Aurea… tra Pitagora e l’Egitto dei Faraoni

La Sezione Aurea consiste in un rapporto fra due grandezze disuguali, di cui la maggiore è medio proporzionale rispetto alla minore e la loro somma (a+b: a = a : b),

1.618

oppure il numero corrispondente, approssimativamente pari a (0.618).

Algebricamente il numero esatto può essere presentato soltanto con la formula:

trattandosi di un numero irrazionale, infatti, non può essere ridotto ad una frazione generatrice, ma può comunque essere approssimato, con crescente precisione, dai rapporti fra due numeri successivi della serie di Fibonacci, a cui è intrinsecamente legato.

Sia le sue proprietà geometriche e matematiche, che la frequente riproposizione della proporzione in svariati contesti naturali, apparentemente slegati tra loro, hanno impressionato nei secoli la mente dell'uomo, che è arrivato a cogliervi col tempo un ideale di bellezza e armonia, spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a ricrearlo nell'ambiente antropico quale canone di bellezza; testimonianza ne è forse la storia del nome che in epoche più recenti, in particolare nell’Ottocento ha assunto gli appellativi di "aureo" (sezione aurea) o "divino" (divina proporzione), proprio a dimostrazione del fascino esercitato, attirandosi l’attenzione di numerosi artisti e progettisti.

Non a caso un largo contributo alla conoscenza ed alla divulgazione di questo metodo di aurea suddivisione armonica è stato dato dal matematico Luca Pacioli con la pubblicazione del libro De divina Proportione, testo illustrato con disegni di Leonardo Da Vinci, pubblicato a Venezia nel 1509.

In questo trattato inoltre, Pacioli ricercò nella proporzione dei numeri i principi ispiratori in architettura, scienza e natura: la regola aurea introdotta fu in seguito chiamata praxis italica. L’aggettivo divina si giustifica perché essa ha diversi caratteri che appartengono alla divinità: è unica nel suo genere, è trina perché abbraccia tre termini, indefinibile in quanto è irrazionale, è invariabile.

Utilizzando la sezione aurea nei suoi dipinti Leonardo inoltre scoprì che, guardando le opere, si poteva creare un sentimento di ordine.

In particolare Leonardo incorporò il rapporto aureo in tre dei suoi capolavori: Gioconda, L’ultima cena e L'Uomo di Vitruvio.

4 Gioconda

Nella il rapporto aureo è stato individuato:

• Nella disposizione del quadro
• Nelle dimensioni del viso
• Nell’area che va dal collo a sopra le mani
• In quella che va dalla scollatura dell’abito fino a sotto le mani.

L’Ultima cena,

Ne Gesù, il solo personaggio veramente divino, è dipinto con le proporzioni divine, ed è racchiuso in un rettangolo aureo.

L’Uomo,

Ne Leonardo studia le proporzioni della sezione aurea secondo i dettami del De architectura di Vitruvio che obbediscono ai rapporti del numero aureo.

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Leonardo stabilì che le proporzioni umane sono perfette quando l’ombelico divide l’uomo in modo aureo.

Vitruvio nel De Architectura scrive: "Il centro del corpo umano è inoltre per natura l’ombelico; infatti, se si sdraia un uomo sul dorso, mani e piedi allargati, e si punta un compasso sul suo ombelico, si toccherà tangenzialmente, descrivendo un cerchio, l’estremità delle dita delle sue mani e dei suoi piedi".

La sezione aurea affascinò altri pittori, come Botticelli (1445-1510) e la rappresentò La Venere.

ne Infatti misurando l’altezza da terra dell’ombelico e l’altezza complessiva il loro rapporto risulterà 0.618, così anche il rapporto tra la distanza tra il collo del femore e il ginocchio e la lunghezza dell’intera gamba o anche il rapporto tra il gomito e la punta del dito medio e la lunghezza del braccio.

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Pierre Mondrian, autore

Importanti anche i dipinti del pittore ottocentesco di numerosi quadri astratti in cui domina l'uso di figure geometriche.

In questo quadro è ben visibile l'impostazione artistica di Mondrian che basa l'intero dipinto sull'accostamento di quadrati e rettangoli aurei.

Nell'opera dal titolo La parade du cirque il pittore divisionista francese Georges Seurat impiega varie sezioni auree alcune delle quali evidenziate in figura.

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Insomma questa riconosciuta come un rapporto esteticamente piacevole è stata usata come base per la composizione di quadri o di elementi architettonici, anche se in realtà è stato dimostrato come la percezione umana mostri una naturale preferenza e predisposizione verso le proporzioni in accordo con la stessa; gli artisti tenderebbero dunque, quasi inconsciamente, a disporre gli elementi di una composizione in base a tali rapporti.

Dunque vediamo geometricamente in cosa consista tale tanto famoso rapporto attraverso gli studi condotti dai pitagorici. Essi, in particolare descrissero le proprietà di molte figure geometriche mediante l’aritmetica, ma una figura che attirò maggiormente la loro attenzione fu il pentagono stellato (pentagramma o pentacolo), ottenuto tracciando le cinque diagonali di un pentagono regolare.

Le diagonali del pentagono permettono di definire diversi triangoli isosceli, che risultano simili tra di loro, in particolare se si considerano i triangoli simili AA B e BDE si ha: BE : BA = DE : AA = BA = A E

1

B

x A C (1)

A

1

E D Figura 1

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La diagonale AD del pentagono divide la diagonale BE in due segmenti BA e A E tali

1 1

che il rapporto tra la diagonale e il segmento maggiore BA è uguale al rapporto tra il

1

E. La precedente costruzione permette di dividere

segmento maggiore e il minore A 1

una linea in media ed estrema ragione e il segmento maggiore BA viene indicato

1

aurea” la lunghezza della diagonale BE. Se indichiamo con d 0

diagonale e con x la sua sezione aurea, il valore di x è dato dalla soluzione algebrica dell’equazione di secondo grado:

d / x = x / d – x x + x d = d

2 0 02

0 0 da cui: (2)

x = d / 2 ( - 1 ) = d

± √5

0 1

Per BE =d =1 si ha che una soluzione della (2) è uguale a BA =d =0.618034…,

0 1 1

=1.618034…. Spesso in letteratura

mentre l’altra soluzione in valore assoluto è 1/BA 1

il numero irrazionale rappresentato da 1/BA è indicato con F in onore dello scultore

1

Fidia, che fu tra i primi a utilizzare tale numero nelle proporzioni delle sculture decorative del Partenone.

Mentre i progettisti (Ictino e Callicrate), pur conoscendo le proprietà della sezione aurea perché il Partenone fu costruito verso gli anni 440 a.C., non la utilizzarono come criterio di progetto.

Alcune volte si indica come sezione aurea il valore di =BA = 1/φ.

φ 1

Per la (1) i valori della sezione aurea soddisfano le equazioni

1 + = = (3)

2

Φ Φ 1 − φ φ

2

da cui sarà possibile ottenere delle formule ricorsive sulla sezione aurea.

Elementi,

Euclide, nelle Proposizioni 11 (Libro II) e 30 (Libro VI) degli propose un metodo grafico per la soluzione della (2) e iterando la costruzione grafica ottenne dei rettangoli aurei, i cui rapporti tra il lato maggiore e quello minore era uguale a Φ.

Oltre agli Elementi, Euclide scrisse altri libri come l’Ottica, che contiene i primi studi di prospettiva, ripresi più di 1700 anni dopo dal pittore e matematico Piero della Francesca.

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Se si considerano gli angoli della Figura 1 è possibile trovare una relazione tra la sezione aurea e un altro importante numero irrazionale che è adoperando il seno.

π

Infatti, si ha che l’angolo EBD=36°=π/5, per cui se si pone BE=1 si ha ED=ϕ=2 sin(π/10)

Pertanto, in un triangolo isoscele, i cui angoli sono (72°,36°,72°), il rapporto tra il lato e la sua base è uguale alla sezione aurea, tale triangolo è detto aureo.

Mentre se si considera il triangolo isoscele ABE, i cui angoli sono (36°,108°,36°) si ha che il rapporto tra la base e il lato è uguale a F, tale triangolo è indicato come gnomone aureo.

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Qualcosa sul seno

seno

Dato un triangolo rettangolo, il di uno dei due angoli interni adiacenti

rapporto tra le lunghezze del cateto opposto

all'ipotenusa è definito come il

all'angolo e dell'ipotenusa.

Più in generale, il seno di un angolo α, espresso in gradi o radianti, è una quantità che dipende solo da α, costruita usando la circonferenza unitaria.

funzione seno,

Definendo come sen(x) il valore del seno nell'angolo x, si ottiene la una funzione trigonometrica di fondamentale importanza nell'analisi matematica.

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seno

Nel triangolo rosso in figura, il di è dato da

x

Più in generale, si definisce il seno di un angolo x (espresso in gradi o radianti) a partire dalla circonferenza goniometrica, ovvero dalla circonferenza di raggio unitario nel piano cartesiano.

Presa la semiretta uscente dall'origine che forma un angolo x con l'asse delle ascisse come in figura, il seno dell'angolo è quindi definito come il valore della coordinata y del punto di intersezione tra la semiretta e la circonferenza (in figura, è la lunghezza del segmento CD).

Il dominio della funzione seno è l'insieme dei numeri reali, mentre il codominio è l'intervallo reale [−1; +1], ossia applicando tale funzione a qualunque numero reale si ottiene sempre un numero reale compreso tra −1 e +1, estremi inclusi.

La seguente tabella elenca i principali valori notevoli della funzione seno:

in radianti 0

x in gradi 0 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

x 0 1 0 − 1 0

In alcuni libri il seno di è indicato con la notazione anglofona sinx.

x

Inoltre:

funzione seno

La è definita associando ad il seno dell'angolo (rappresentato

x x

in radianti), ed è indicata con sen(x). Poiché e + 2π definiscono lo stesso

x x

angolo, la funzione seno è una funzione periodica di periodo 2π (2π è l'angolo giro).

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Rappresentazione grafica della funzione seno

Prima relazione fondamentale: seno e coseno

Tra seno e coseno esiste la relazione fondamentale:

sen x + cos x = 1

2 2

che è conseguenza del teorema di Pitagora. Infatti nel triangolo OCD nella figura in alto il coseno di x è definito come

D'altra parte il teorema di Pitagora applicato al triangolo OCD fornisce la relazione

e quindi

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Se si considera un decagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio R, la lunghezza del suo lato è uguale a

= R 2 sin( = R (4)

l π/10) φ

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per cui il rapporto tra il raggio della circonferenza e il lato del decagono inscritto risulta essere uguale a.

Φ

Mentre, il lato e la diagonale di un pentagono regolare e il raggio della sua circonferenza circoscritta sono legate dalle seguenti relazioni

= d d = 2R cos (π/10) l = 2 R cos(

l φ φ π/10)

5 0 0 5

Tenuto conto che il lato di un esagono è uguale al raggio della circonferenza circoscritta

l = R

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si ha dalle precedenti equazioni che

l + l = l = R (3 - (5)

102 62 52 2 Φ)

per cui i lati di un decagono, esagono e pentagono iscritti in una circonferenza di raggio R sono i lati di un triangolo rettangolo.