Dalla sezione aurea alle piramidi di giza, dalle s

Introduzione ai temi trattati

C

ome appassionata di antichi misteri, Piramidi e stelle non potevo sottrarmi

dal trattare di simili argomenti: dalla Sezione Aurea, al suo legame con l’arte,

dalla Grande Piramide di Cheope fino alle stelle, dalla loro nascita alla loro

evoluzione. Spero di essere stata quanto più rigorosa possibile ed al

contempo di aver dimostrato in parte come la scienza dovrebbe continuamente

interrogarsi su quelli che restano ancora indubbiamente dei piccoli misteri,

dimostrando, magari, una maggiore apertura e affermando ancora una volta il suo

perenne mettersi in gioco e mettere in dubbio le conoscenze finora raggiunte. Cos’è

d’altronde una verità scientifica? “La finalità della scienza è dubitare dei suoi

risultati” diceva Morandotti non uno scienziato, ma un famoso storico italiano….Sarà

forse per questo? 3

La “magica” Sezione Aurea…tra Pitagora e l’Egitto dei Faraoni

La Sezione Aurea consiste in un rapporto fra due grandezze disuguali, di cui la

: a = a : b),

maggiore è medio proporzionale rispetto la minore e la loro somma (a+b

1.618

oppure il numero corrispondente, approssimativamente pari a (0.618).

Algebricamente il numero esatto può essere presentato soltanto con la formula:

trattandosi di un numero irrazionale, infatti, non può essere ridotto ad una frazione

generatrice, ma può comunque essere approssimato, con crescente precisione, dai

rapporti fra due numeri successivi della serie di Fibonacci, a cui è intrinsecamente

legato.

Sia le sue proprietà geometriche e matematiche, che la frequente riproposizione

della proporzione in svariati contesti naturali, apparentemente slegati tra loro,

hanno impressionato nei secoli la mente dell'uomo, che è arrivato a cogliervi col

tempo un ideale di bellezza e armonia, spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a

ricrearlo nell'ambiente antropico quale canone di bellezza; testimonianza ne è forse

la storia del nome che in epoche più recenti, in particolare nell’Ottocento ha assunto

gli appellativi di "aureo" ( sezione aurea ) o "divino" ( divina proporzione ), proprio a

dimostrazione del fascino esercitato, attirandosi l’attenzione di numerosi artisti e

progettisti.

Non a caso un largo contributo alla conoscenza ed alla divulgazione di questo

metodo di aurea suddivisione armonica è stato dato dal matematico Luca Pacioli con

la pubblicazione del libro De divina Proportione, testo illustrato con disegni di

Leonardo Da Vinci, pubblicato a Venezia nel 1509.

In questo trattato inoltre, Pacioli ricercò nella proporzione dei numeri i principi

ispiratori in architettura, scienza e natura: la regola aurea introdotta fu in seguito

chiamata praxis italica. L’aggettivo divina si giustifica perché essa ha diversi caratteri

che appartengono alla divinità: è unica nel suo genere, è trina perché abbraccia tre

termini, indefinibile in quanto è irrazionale, è invariabile.

Utilizzando la sezione aurea nei suoi dipinti Leonardo inoltre scoprì che, guardando

le opere, si poteva creare un sentimento di ordine. La

In particolare Leonardo incorporò il rapporto aureo in tre dei suoi capolavori:

Gioconda, L’ultima cena e L'Uomo di Vitruvio.

4 Gioconda

Nella il rapporto aureo è

stato individuato:

nella disposizione del quadro

• nelle dimensioni del viso

• nell’area che va dal collo a

• sopra le mani

in quella che va dalla scollatura

• dell’abito fino a sotto le mani.

L’Ultima cena,

Ne Gesù,

il solo personaggio

veramente divino, è

dipinto con le

proporzioni divine, ed è

racchiuso in un

rettangolo aureo.

L’Uomo,

Ne Leonardo studia le proporzioni della sezione aurea secondo i dettami

del De architectura di Vitruvio che obbediscono ai rapporti del numero aureo.

5

Leonardo stabilì che le proporzioni umane sono perfette quando l’ombelico divide

l’uomo in modo aureo.

Vitruvio nel De Architectura

scrive: "Il centro del corpo

umano è inoltre per natura

l’ombelico; infatti, se si sdraia

un uomo sul dorso, mani e

piedi allargati, e si punta un

compasso sul suo ombelico, si

toccherà tangenzialmente,

descrivendo un cerchio,

l’estremità delle dita delle sue

mani e dei suoi piedi". La sezione aurea

affascinò altri pittori,

come Botticelli (1445-

1510) e la rappresentò

La Venere.

ne Infatti

misurando l’altezza da

terra dell’ombelico e

l’altezza complessiva il

loro rapporto risulterà

0.618, così anche il

rapporto tra la

distanza tra il collo del

femore e il ginocchio e

la lunghezza

dell’intera gamba o

anche il rapporto tra il

6 gomito e la punta del

dito medio e la

lunghezza del braccio.

Pierre Mondrian,autore

Importanti anche i dipinti del pittore ottocentesco di

numerosi quadri astratti in cui domina l'uso di figure geometriche.

In questo quadro è ben visibile

l'impostazione artistica di Mondrian

che basa l'intero dipinto

sull'accostamento di quadrati e

rettangoli aurei.

Nell'opera dal titolo La

parade du cirque il pittore

divisionista francese Georges

Seurat impiega varie sezioni

auree alcune delle quali

evidenziate in figura. 7

Insomma questa riconosciuta come un rapporto esteticamente piacevole è stata

usata come base per la composizione di quadri o di elementi architettonici, anche

se In realtà è stato dimostrato come la percezione umana mostri una naturale

preferenza e predisposizione verso le proporzioni in accordo con la stessa; gli

artisti tenderebbero dunque, quasi inconsciamente, a disporre gli elementi di una

composizione in base a tali rapporti.

Dunque vediamo geometricamente in cosa consista tale tanto famoso

rapporto attraverso gli studi condotti dai pitagorici. Essi, in particolare descrissero le

proprietà di molte figure geometriche mediante l’aritmetica, ma una figura che

attirò maggiormente la loro attenzione fu il pentagono stellato (pentagramma o

pentacolo), ottenuto tracciando le cinque diagonali di un pentagono regolare.

Le diagonali del pentagono permettono di definire diversi triangoli isosceli,

che risultano simili tra di loro, in particolare se si considerano i triangoli simili AA B e

1

BDE si ha: BE : BA = DE : AA = BA = A E

1 1 1 1

B

x A C (1)

A

1

E D Figura 1

8

La diagonale AD del pentagono divide la diagonale BE in due segmenti BA e A E tali

1 1

che il rapporto tra la diagonale e il segmento maggiore BA è uguale al rapporto tra il

1

E. La precedente costruzione permette di dividere

segmento maggiore e il minore A 1

una linea in media ed estrema ragione e il segmento maggiore BA viene indicato

1

aurea” la lunghezza della

come “sezione della linea BE. Se indichiamo con d 0

diagonale e con x la sua sezione aurea, il valore di x è dato dalla soluzione algebrica

dell’equazione di secondo grado:

d / x = x / d – x x + x d = d

2 0 02

0 0 da cui: (2)

x = d / 2 ( - 1 ) = d

± √5

0 1

Per BE =d =1 si ha che una soluzione della (2) è uguale a BA =d =0.618034…,

0 1 1

=1.618034…. Spesso in letteratura

mentre l’altra soluzione in valore assoluto è 1/BA 1

il numero irrazionale rappresentato da 1/BA è indicato con F in onore dello scultore

1

Fidia, che fu tra i primi a utilizzare tale numero nelle proporzioni delle sculture

decorative del Partenone.

Mentre i progettisti (Ictino e Callicrate), pur conoscendo le proprietà della

sezione aurea perché il Partenone fu costruito verso gli anni 440 a.C., non la

utilizzarono come criterio di progetto.

Alcune volte si indica come sezione aurea il valore di =BA = 1/φ.

φ 1

Per la (1) i valori della sezione aurea soddisfano le equazioni

1 + = = (3)

2

Φ Φ 1 − φ φ

2

da cui sarà possibile ottenere delle formule ricorsive sulla sezione aurea.

Elementi,

Euclide, nelle Proposizioni 11 (Libro II) e 30 ( Libro VI) degli propose

un metodo grafico per la soluzione della (2) e iterando la costruzione grafica ottenne

dei rettangoli aurei, i cui rapporti tra il lato maggiore e quello minore era uguale a Φ

. Oltre agli Elementi, Euclide scrisse altri libri come l’Ottica, che contiene i primi studi

di prospettiva, ripresi più di 1700 anni dopo dal pittore e matematico Piero della

Francesca.

9

Se si considerano gli angoli della Figura 1 è possibile trovare una relazione tra la

sezione aurea e un altro importante numero irrazionale che è adoperando il seno.

π

Infatti, si ha che l’angolo EBD=36°=π/5, per cui se si pone BE=1 si ha

ED=ϕ=2 sin(π/10)

Pertanto, in un triangolo isoscele, i cui angoli sono (72°,36°,72°), il rapporto tra il lato

e la sua base è uguale alla sezione aurea, tale triangolo è detto aureo. Mentre se si

considera il triangolo isoscele ABE, i cui angoli sono (36°,108°,36°) si ha che il

rapporto tra la base e il lato è uguale a F , tale triangolo è indicato come gnomone

aureo.

………………………………………………………………………………………………………………

Qualcosa sul seno

seno

Dato un triangolo rettangolo, il di uno dei due angoli interni adiacenti

rapporto tra le lunghezze del cateto opposto

all'ipotenusa è definito come il

all'angolo e dell'ipotenusa.

Più in generale, il seno di un angolo α, espresso in gradi o radianti, è una quantità

che dipende solo da α, costruita usando la circonferenza unitaria. funzione seno,

Definendo come sen(x) il valore del seno nell'angolo x, si ottiene la

una funzione trigonometrica di fondamentale importanza nell'analisi matematica.

10

seno

Nel triangolo rosso in figura, il di è dato da

x

Più in generale, si definisce il seno di un angolo x (espresso in gradi o radianti) a

partire dalla circonferenza goniometrica, ovvero dalla circonferenza di raggio

unitario nel piano cartesiano. Presa la semiretta uscente dall'origine che forma

un angolo x con l'asse delle ascisse come in figura, il seno dell'angolo è quindi

definito come il valore della coordinata y del punto di intersezione tra la

semiretta e la circonferenza (in figura, è la lunghezza del segmento CD).

Il dominio della funzione seno è l'insieme dei numeri reali, mentre il codominio

è l'intervallo reale [ − 1; + 1], ossia applicando tale funzione a qualunque

numero reale si ottiene sempre un numero reale compreso tra −1 e +1, estremi

inclusi.

La seguente tabella elenca i principali valori notevoli della funzione seno:

in radianti 0

x in gradi 0 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

x 0 1 0 − 1 0

In alcuni libri il seno di è indicato con la notazione anglofona sinx.

x

Inoltre:

funzione seno

La è definita associando ad il seno dell'angolo (rappresentato

x x

in radianti), ed è indicata con sen(x). Poiché e + 2π definiscono lo stesso

x x

angolo, la funzione seno è una funzione periodica di periodo 2π (2π è l'angolo

giro). 11

Rappresentazione grafica della funzione seno

Prima relazione fondamentale: seno e coseno

Tra seno e coseno esiste la relazione fondamentale:

sen x + cos x = 1

2 2

che è conseguenza del teorema di Pitagora. Infatti nel triangolo OCD nella

figura in alto il coseno di x è definito come

D'altra parte il teorema di Pitagora applicato al triangolo OCD fornisce

la relazione

e quindi

………………………………………………………………………………………………………………

12

Se si considera un decagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio R, la

lunghezza del suo lato è uguale a

= R 2 sin( = R (4)

l π/10) φ

10

per cui il rapporto tra il raggio della circonferenza e il lato del decagono inscritto

risulta essere uguale a .

Φ

Mentre, il lato e la diagonale di un pentagono regolare e il raggio della sua

circonferenza circoscritta sono legate dalle seguenti relazioni

= d d = 2R cos (π/10) l = 2 R cos(

l φ φ π/10)

5 0 0 5

Tenuto conto che il lato di un esagono è uguale al raggio della circonferenza

circoscritta

l = R

6

si ha dalle precedenti equazioni che

l + l = l = R (3 - (5)

102 62 52 2 Φ)

per cui i lati di un decagono, esagono e pentagono iscritti in una circonferenza di

raggio R sono i lati di un triangolo rettangolo.

Tale teorema fu dimostrato da Euclide nella Proposizione 9 del Libro XIII. Da

Euclide fino a Pappo ( IV sec d.C.), Alessandria era diventata il più importante centro

scientifico della matematica greca, il cui anno di inizio è il 306 a.C., quando Tolomeo

I fondò una scuola, nota come Museo, e chiamò come docenti Euclide e Eratostene