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Determinazione di Polinomi - Esercizio

Esercizio
Sia
[math]p(x)[/math]
un polinomio tale che valga la seguente affermazione:
[math]p(p(x)) = p(x)+p(x+5)[/math]
Determinare il valore di
[math]p(1000)[/math]
.
Svolgimento
Ragioniamo sui gradi.
Sappiamo che se
[math]deg p(x) = m[/math]
, allora
[math]deg p(p(x)) = m^2[/math]
.
La somma
[math]p(x) + p(x+5)[/math]
ha grado m.
Si può concludere quindi che il grado di p(x) è un numero m tale che:
[math]m^2=m[/math]
[math]m^2-m=0[/math]
Le soluzioni di questa equazione di secondo grado ci forniscono il grado di
[math]p(x)[/math]
.
Le soluzioni sono 1, 0. Se un polinomio ha grado 0, allora il polinomio è una costante. Quindi p(x) ha grado 1.
Un polinomio di primo grado può essere scritto nella forma
[math]ax+b[/math]
, dove a è il coefficiente di primo grado, b il termine noto.
Ora sviluppiamo il tutto.
[math]p(ax+b) = ax+b+a(x+5)+b[/math]
Sviluppiamo p(ax+b).
[math]a(ax+b)+b = ax+b+ax+5a+b[/math]
Otteniamo:
[math]a^2x+ab+b=ax+b+ax+5a+b[/math]

[math]a^2x+ab+b=2ax+2b+5a[/math]

[math]a^2x+ab=2ax+b+5a[/math]

Ora, per semplicità, poniamo x = 0.
Si ottiene una relazione tra i coefficienti del polinomio.
[math]ab = 5a+b[/math]
Ora, dato che deve valere per tutti gli interi x, poniamo x = 1.
Allora si ottiene che:
[math]a^2+ab=2a+b+5a[/math]
[math]ab = 7a+b-a^2[/math]
Quindi ora possediamo due importanti informazioni sul prodotto ab, da cui ci possiamo ricavare a, b.
  • 5a+b = ab
  • 7a+b-a^2 = ab
Sottraiamo le due equazioni.
7a+b-a^2-5a-b = 0
2a-a^2 = 0
Conseguentemente a ciò, abbiamo trovato che il coefficiente di grado 1 può solamente equivalere a 2 oppure a 0(cosa impossibile, altrimenti il polinomio non avrebbe grado 1.)
Quindi sappiamo che a = 2.
Sostituendo a all'equazione 5a+b=ab, otteniamo:
10+b=2b, da cui si ottiene che b = 10.
La risposta è quindi
[math]p(x) = 2x+10[/math]
, allora
[math]p(1000) = 2010[/math]
.
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