In questo appunto si descrivono le equivalenze. Uno degli appellativi tipici della matematica è regina delle scienze.
Questo perché tutte le discipline scientifiche e tecniche non possono fare a meno della matematica per analizzare ciò che compete loro, per enunciare i propri risultati, per procedere nella conoscenza. Il linguaggio matematico è ampiamente utilizzato come strumento per misurare altre grandezze. Quando ciò accade, al numero che esprime il valore di quella grandezza, affianchiamo una sorta di targhetta, l'unità di misura.
Potrebbe sembrare poco rilevante ma in realtà la sua presenza è importantissima, perché ci dice proprio cosa stiamo misurando. Poniamo di voler misurare la lunghezza della strada che va da casa a scuola: potrei dire che è lunga 500 metri, 0,5 kilometri oppure 50mila centimetri: tre modi diversi di parlare della stessa quantità. Il procedimento per passare da un'unità di misura ad un'altra si chiama equivalenza, ed è questo l'oggetto di questo appunto.
Indice
Definizione
Si dice equivalenza un'uguaglianza tra due espressioni che contengono entrambe un'unità di misura. Affinché una equivalenza sia corretta, la grandezza che si trova a sinistra dell'uguaglianza, con una certa unità di misura e quella che si trova alla sua destra, con un'unità di misura diversa dalla prima, devono coincidere. Se l'equivalenza è verificata, si parlerà di misure equivalenti.
Fare un'equivalenza significa trasformare un'unità di misura in un'altra, in modo tale che si equivalgano.
Un esempio di equivalenza è:
Il presupposto principale, affinché un'equivalenza abbia senso, è che le quantità siano espresse in unità di misura confrontabili tra loro: lunghezze con lunghezze, volumi con volumi, capacità con capacità, eccetera eccetera.
Tanto per fare un esempio, non avrebbe senso trasformare una misura di lunghezza in una misura di tempo!
Principali unità di misura
Per calcolare le equivalenze nel modo corretto è indispensabile conoscere molto bene le unità di misura, con tutti i loro multipli ed i loro sottomultipli. Tali multipli e sottomultipli vengono generalmente costruiti anteponendo al nome dell'unità di misura un prefisso: ogni prefisso rappresenta uno specifico fattore moltiplicativo.
Facciamo un elenco di quelli principali:
- kilo (k): si moltiplica l'unità di misura per 1000
- etto (h): si moltiplica l'unità di misura per 100
- deca (da): si moltiplica l'unità di misura per 10
- deci (d): si divide l'unità di misura per 10
- centi (c): si divide l'unità di misura per 100
- milli (m): si divide l'unità di misura per 1000
Raggruppiamo, invece, nelle tabelle successive, tutte le principali unità di misura, con relativi multipli e sottomultipli.
Misure di lunghezza
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
\text{chilometro} & \text{ettometro} & \text{decametro} & \color{red}{\text{metro}} & \text{decimetro} & \text{centimetro} & \text{millimetro} \\
\hline
\text{km} & \text{hm} & \text{dam} & \color{red}{\text{m}} & \text{dm} & \text{cm} & \text{mm} \\
\hline
10^3\,\text{m} & 10^2\,\text{m} & 10^1\,\text{m} & \color{red}{1\,\text{m}} & 10^{-1}\,\text{m} & 10^{-2}\,\text{m} & 10^{-3}\,\text{m}
\end{array}\\
[/math]
Misure di massa
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
\text{chilogrammo} & \text{ettogrammo} & \text{decagrammo} & \color{red}{\text{grammo}} & \text{decigrammo} & \text{centigrammo} & \text{milligrammo} \\
\hline
\text{kg} & \text{hg} & \text{dag} & \color{red}{\text{g}} & \text{dg} & \text{cg} & \text{mg} \\
\hline
10^3\,\text{g} & 10^2\,\text{g} & 10^1\,\text{g} & \color{red}{1\,\text{g}} & 10^{-1}\,\text{g} & 10^{-2}\,\text{g} & 10^{-3}\,\text{g}
\end{array}\\
[/math]
Vi sono altre misure di massa ricorrenti, che sono il quintale:
e la tonnellata:
.
Misure di capacità
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
\text{chilolitro} & \text{ettolitro} & \text{decalitro} & \color{red}{\text{litro}} & \text{decilitro} & \text{centilitro} & \text{millilitro} \\
\hline
\text{kl} & \text{hl} & \text{dal} & \color{red}{\text{l}} & \text{dl} & \text{cl} & \text{ml} \\
\hline
10^3\,\text{l} & 10^2\,\text{l} & 10^1\,\text{l} & \color{red}{1\,\text{l}} & 10^{-1}\,\text{l} & 10^{-2}\,\text{l} & 10^{-3}\,\text{l}
\end{array}\\
[/math]
Nelle misure di capacità il chilolitro è solitamente inutilizzato a favore dell'equivalente metro cubo:
. In questo caso, la misura di capacità si trasforma in una misura di volume, per le quali trovi la tabella più in basso.
Misure di superficie
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
\text{km quadrato} & \text{hm quadrato} & \text{dam quadrato} & \color{red}{\text{m quadrato}} & \text{dm quadrato} & \text{cm quadrato} & \text{mm quadrato} \\
\hline
\text{km}^2 & \text{hm}^2 & \text{dam}^2 & \color{red}{\text{m}^2} & \text{dm}^2 & \text{cm}^2 & \text{mm}^2 \\
\hline
10^6\,\text{m}^2 & 10^4\,\text{m}^2 & 10^2\,\text{m}^2 & \color{red}{1\,\text{m}^2} & 10^{-2}\,\text{m}^2 & 10^{-4}\,\text{m}^2 & 10^{-6}\,\text{m}^2
\end{array}\\
[/math]
Misure di volume
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
\text{km cubo} & \text{hm cubo} & \text{dam cubo} & \color{red}{\text{m cubo}} & \text{dm cubo} & \text{cm cubo} & \text{mm cubo} \\
\hline
\text{km}^3 & \text{hm}^3 & \text{dam}^3 & \color{red}{\text{m}^3} & \text{dm}^3 & \text{cm}^3 & \text{mm}^3 \\
\hline
10^9\,\text{m}^3 & 10^6\,\text{m}^3 & 10^3\,\text{m}^3 & \color{red}{1\,\text{m}^3} & 10^{-3}\,\text{m}^3 & 10^{-6}\,\text{m}^3 & 10^{-9}\,\text{m}^3
\end{array}\\
[/math]
Misure agrarie
\begin{array}{c|c|c}
\text{ettaro} & \color{red}{\text{ara}} & \text{centiara} \\
\hline
\text{ha} & \color{red}{\text{a}} & \text{ca} \\
\hline
10^2\,\text{a} & \color{red}{1\,\text{a}} & 10^{-2}\,\text{a}
\end{array}\\
[/math]
Per quanto riguarda le unità di misura agrarie, utilizzate solamente in ristretti ambiti tecnici, è bene ricordare che:
- [math]1\,\text{ha} = 10^4\,\text{m}^2[/math]
- [math]1\,\text{a} = 10^2\,\text{m}^2[/math]
- [math]1\,\text{ca} = 10^{-2}\,\text{m}^2\\[/math]
Esempi
In quest'ultimo paragrafo sono raccolti alcuni esempi svolti che ti consentiranno di esercitare le tue competenze sulle equivalenze.
Per risolvere un'equivalenza, per prima cosa occorre individuare la tipologia di misure a cui si riferisce la richiesta (misure di superficie, di volume, di lunghezza, ecc.) e fare riferimento alla relativa tabella. Dopo, bisogna prestare attenzione alle unità di misura del valore di partenza e del valore di arrivo. Due sono le cose da osservare:
- quanti sono i posti che separano le due unità di misura, cioè quanti passi occorre fare per passare dall'una all'altra;
- in che direzione vanno fatti questi passi, se da sinistra a destra o da destra a sinistra.
In base a queste considerazioni, sapremo quanti zeri aggiungere o eliminare e/o di quanti posti spostare la virgola.
Poniamo, per esempio, di voler trasformare
ettometri in metri. Per andare dagli ettometri ai metri occorre spostarsi verso destra di due posti: questo vuol dire che dobbiamo moltiplicare il valore di partenza per
: per farlo, visto che
è un numero senza la virgola, ci basterà aggiungere due zeri.
Supponiamo, invece, di dover trasformare
in ettometri quadrati. I posti che separano i metri dagli ettometri sono due. Però si tratta di unità di misura di superficie, per cui i
posti diventano
, quando si fa l'equivalenza. Si va da destra a sinistra, per cui bisogna dividere per
seguito da quattro zeri, cioè spostare la virgola da destra a sinistra di quattro posti.
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