Teorema di Kronecker e sistemi lineari

Teorema di Kronecker

Data A ∈ Mm×n(K), sono equivalenti le seguenti affermazioni:
(1) ρ(A) = k.
(2) Esiste in A un minore M di ordine k tale che det M diverso da 0 e tutti i minori di A di ordine maggiore di k hanno determinante nullo.
(3) Esiste in A un minore M di ordine k tale che det M diverso da 0 e tutti i suoi minori orlati hanno determinante nullo.

Proposizione

Dati un spazio vettoriale V^n sul campo K, una sua base ordinata B ed i vettori v1, . . . , vr ∈ V^n, sia A ∈ Mn×r(K) la matrice che ha come colonne le componenti dei vettori v1, . . . , vr rispetto alla base B. Allora ρ(A) = dim L(v1, . . . , vr). Inoltre ∀{i1, . . . , ih} ⊆ {1, . . . ,r} con h ≤ ρ(A), i vettori vi1, . . . , vih sono linearmente indipendenti se e solo se esiste un minore di ordine h che coinvolge le colonne ai1 , . . . , aih della matrice A ed ha determinante non nullo.

Sistemi lineari

Definizione

Un sistema lineare di m equazioni in n incognite `e una coppia di matrici S = (A, b) con A ∈ Mm×n e b ∈ Mm×1. A si dice matrice dei coefficienti o matrice incompleta del sistema e b colonna dei termini noti. Si chiama matrice completa del sistema la matrice C ∈ Mm×(n+1) ottenuta aggiungendo ad A la colonna dei termini noti.