Sottospazi vettoriali e sistemi di generatori

Sottospazi vettoriali

Definizione

Un sottoinsieme U di uno spazio vettoriale V su K si dice un sottospazio vettoriale di V se `e linearmente chiuso:
(1) u + v ∈ U ∀u, v ∈ U (`e chiuso rispetto alla somma di vettori)
(2) λu ∈ U ∀λ ∈ K, ∀u ∈ U (`e chiuso rispetto al prodotto per uno scalare)

Osservazione

U con le operazioni di somma di vettori e prodotto per uno scalare indotte da quelle di V diventa a sua volta uno spazio vettoriale su K.

Sistemi di generatori

Combinazione lineare di vettori
Diremo combinazione lineare di v1, . . . , vm ∈ V con coefficienti λ1, . . . , λm ∈ K, il vettore: λ1v1 + · · · + λmvm

Definizione

La chiusura lineare L(X) di un sottoinsieme X di uno spazio vettoriale V `e l’insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori di X. Inoltre poniamo L(∅) = {¯0}.

Proprietà

X ⊆ L(X) ogni sottospazio vettoriale di V che contiene X contiene anche L(X) X `e un sottospazio vettoriale di V se e solo se X = L(X) (X contiene tutte le combinazioni lineari dei suoi elementi).

Definizione

X si dice un sistema di generatori per V se L(X) = V, cio`e ogni vettore di V si può ottenere (generalmente non in modo unico) come combinazione lineare di vettori di X.

Esempio:

B˜ = {e˜1, . . . , e˜n} dove ˜ei = (0, 0, . . . ,i1, . . . , 0) `e un s.d.g. per K^n