Orientazione di uno spazio euclideo

Orientazione di uno spazio euclideo

Definizione
Uno spazio euclideo E^n con la scelta di una base ortonormale dello spazio dei vettori liberi si dice orientato. Si dice che due basi ortonormali B~ e B~0 di E~n sono concordi, se la matrice (regolare) del cambiamento di base da B~ a B~0 ha determinante positivo. In caso contrario si dice che B~ e B~0 sono discordi.
Osservazione: Se B~ e B~0 sono discordi, ogni altra base dello spazio dei vettori liberi o `e concorde con B~ o `e concorde con B~0. In E^n sono quindi possibili solo due orientazioni. Basi concordi definiscono la stessa orientazione di E^n, basi discordi definiscono orientazioni opposte.
Definizione
Dato uno spazio euclideo orientato E^n ed un riferimento cartesiano R = (O, B~) la cui base definisce l’orientazione di E^n , un’isometria α si dice diretta o che conserva l’orientazione se la base ~α(B~) definisce la stessa orientazione (= la matrice del cambiamento di base da B~ a ~α(B~) ha determinante positivo). In caso contrario si dice che α `e inversa o che rovescia l’orientazione.
Proposizione
α `e una isometria diretta (risp. inversa) se e solo se, rispetto a un qualunque riferimento cartesiano, la matrice A ∈ On(R) associata a α ha det A = 1 (risp. det A = −1).
Osservazione
Se R0 = (O0, B~0) e R00 = (O00, B~00) sono due riferimenti cartesiani di E^n , le equazioni del cambiamento di riferimento da R0 a R00 rappresentano una isometria. Tale isometria risulta diretta (risp. inversa) se e solo se le basi
ortonormali B~0 e B~00 sono concordi (risp. discordi).